مقاله ارتعاشات 12ص (docx) 12 صفحه
دسته بندی : تحقیق
نوع فایل : Word (.docx) ( قابل ویرایش و آماده پرینت )
تعداد صفحات: 12 صفحه
قسمتی از متن Word (.docx) :
مثال ، پاسخ هارمونیکی مخزن آب :
L=300(ft)
Din = 8(ft)
Dout = 10(ft)
Wtot = 6×105 (lb)
E = 4×106 (psi)
الف)ωn= ?τn= ?
ب ) x= 0 x0= 10 in →xt=?
xmax =? xmax =?
k=pδ= 3EIl3
I= π64 D04- Di4 = 600.9554 × 104 ( in4 )
K= 3×4×106(600.9554×10436003=1545.6672ibin
(الف ωn=km=1545.6672×386.46×105=0.9977radsec
τn=2πωn=2π0.9977=6.2977 sec
(ب x0=10in , x0=0
xt=A0sin(ωnt+∅0)
A0=[x02+(x0ωn)2]12=x0=10 in
∅0=tg-1x0ωn0=π2
→ xt=10 sin(0.9977t+π2)=10 cos 0.9977 t in
(ج xt=100.9977cos0.9977t+π2
→ xmax=A0ωn=100.9977=9.977(insec)
xt=-10(0.9977)2sin0.9977t+π2
→xmax=A(ωn)2=10 (0.9977)2=9.9540(insec2)
مثال) ارتعاشات آزاد بر اثر ضربه:
جرم m از ارتفاع h روی جرم M سقوط پاسخ سیستم را بیابید؟ x(t)= ?
mvm=M+mx0
x0=mM+mvm=mM+m2gh
x0=-mgk , k=3 EIL3
x(t)=A cos(ωnt-∅) A=[x02+(x0ωn)]12 , ∅=tg-1(x0x0ωn)
ωn=kM+m=3 EIL3M+m
اگر فرکانس طبیعی را داشته باشیم ،مقادیر دیگر مثل مدول یانگ را می توان بدست آورد .
مثال : فرکانس طبیعی مستقیم قرقره اي را بیابید ؟
جرم وزنمعادل ثابت=جرم خالص مکان تغییر
WKeq=4w1k1+1k2= 4wk1+k2k1k2
keq=k1k24(k1k2)
mx+keqx=0 ωn=(keqm)12=[k1k24mk1k2]12 radsec
ارتعاشات آزاد سیستم های پیچشی نامیرا:
آونگ پیچشی
kt=mtθ=πGd432l
J0θ+ktθ=0 ωn=(ktJ0)12
J0=phπD432=WD28g τn=2π(J0kt)12
dn=12π(ktj0)12
θt=A1cos ωnt+A2sinωnt
A1=θ0 , A2=θ0ωn
فرکانس طبیعی آونگ مرکب :
معادله دیفرانسیل غیر خطی مرتبه دوم : J0θ+wdsinθ=0
انتگرال گیری عددی
تقریب زدن این معادل به صورت معادله خطی : sinθ≈θ
ωn=(wdJ0)12=(mgdJ0)12
بامقایسه باآونگ ساده : معادل طول l=J0md
J0=mk02 , ωn=(gdk02)12 , l=(k02d)
K0 : شعاع ژیراسیون حول نقطهO
KG : شعاع ژیراسیون حول نقطه G
K02=KG2+d2
درنتیجه :l=KG2d+d, GA= KG2d l=GA+d=OA
→ωn=(gk02d)12= (gL)12=(gOA)12
یعنی تفاوت نمی کند که آونگ حول نقطه o نوسان کند ، یاحول نقطه A ، دردوحالت فرکانس طبیعی آن یکسان است .
نقطه A را مرکز ضربه گویند .
کاربردهای مرکز ضربه :
شکل چکش طوری است که مرکز ضربه آن درسرچکش و مرکز دوران آن دردسته چکش قرارگیرد ، دراین حالت ، هیچ واکنش عمودی دردسته چکش براثر نیروی ضربه ای سرچکش به وجود نمی آید.
در بيس بال ، نقطه برخورد چوگان ، با توپ درمرکز ضربه است . اگرنقطه برخوردچوگان توپ درنزدیک سرآزاد چوگان باشد براثر نیروی مذکور ، دست بازیکن دردخواهد گرفت .
تست ضربه
اتومبیل ، دست اندازهای جاده : مرکز دوران روی یکی از اکسل ها ، و مرکز ضربه روی اکسل دیگر.
شرایط پایداری :
ml23θ+2kl sinθl cosθ-Wl2sinθ=0 sinθ≈θ
ml23θ+2kl2θ-wl2θ=0 → θ+12kl2-3wl2ml2θ=0
حالت اول : 12kl2-3wl2ml2>0
θt=A1cosωnt+A2sinωnt
ωn=(12kl2-3wl2ml2)12
نوسان در این حالت پایدار است .
حالت دوم :12kl2-3wl2ml2=0 θ=0
θt=c1t+c2⟶ θt=0=θ0
θt=0=θ0
θt=θ0t+θ0
یعنی اگر θ=0 ،آونگ در وضعیت θ0 باقی می ماند .
حالت سوم :اگر α=(3wl-12kl22ml2)12 3wl-12kl22ml2<0
θt=B1eαt-B2e-αt ⟶ θt=0=θ0
θt=0=θ0
θt=12α[αθ0+θ0eαt+(αθ0-θ0)e-αt
این تعادل ناپایدار است چون گشتاور بازگردان فنراز گشتاور غیر بازگردان وزن کمتر است .
روش ریلی :
روش انرژی T+U=cte در نتیجه T1+U1=T2+ U2
حالت اول (1) : لحظه عبور جرم از وضعیت تعادل U1=0
حالت دوم (2) : لحظه متناظربا ماکزیمم تغییر مکان جرم T2=0
پس T1+0=0+U2
T1=Tmax , U2=Umax
مثال : فشار سنج برای موتور دیزل ، دود خروجی از یک موتور دیزل چهار زمانه تک سیلندر از یک صدا خفه کن عبور می کند و توسط فشار سنج اندازه گیری می شود :
* فرکانس طبیعی نوسان ستون جیوه در فشار سنج
* کمترین طول لوله فشار سنج به طوری که وقتی سرعت موتور دیزل rpm 600 است . فرکانس نوسان فشار در صدا خفه کن 5/3 برابر فرکانس نوسان ستون جیوه در فشار سنج باشد .
تمرین : با استفاده از قانون نیوتن فرکانس طبیعی را به دست آورید .
الف) فرکانس طبیعی نوسان ستون جیوه :
U=انرژی پتانسیل ستون جیوه بالارفته + انرژی پتانسیل ستون جیوه پائین رفته
=Axγx2+Axγx2=Aγx2
A : سطح مقطع لوله
γ: وزن مخصوص جیوه
T=12جیوه جرم ×(سرعت )2
=12Alγgx2
بافرض حرکت هارمونیکی xt=Xcosωnt
U=Aγ(Xcosωnt)2=AγX2cos2ωnt=Umaxcos2ωnt , Umax=Aγx2
T=12Alγg(-Xωnsinωnt)2=12Aγlωn2gX2sin2ωnt=Tmaxsin2ωnt ،Tmax=12Aγlωn2gX2
ωn=(2gl)12
ب) طول ستون جیوه :
کن خفه صدا فشار نوسان فرکانس=سیلندر تعداد ×موتور سرعت 2=1×6002=300rpm
300rpm=300×2π60=10π radsec
سنج فشار جیوه ستون نوسان فرکانس=10π3.5=9 radsec
(2gl)12=9 →l=2×9.8192=0.243 (m)
مثال : تاثیر جرم فنر بر ωn:
اگرتوزیع جرم فنر را یکنواخت فرض کنیم γs=msl سرعت درجزئی که درفاصله y از انتهای ثابت قراردارد .
y(xl) فرض شود و انرژی جنبشی یک جزء از فنر dT=12msldy(yxl)2 می باشد .
T=12mx+y=0l12msldyy2x2l2=12mx2+12ms3x2=12(m+ms3)x2
U=12kx2
بافرض xt=Xcosωnt
Tmax=12(m+ms3)X2ωn2
Umax=12Kx2
ωn=(km+ms3)12
مثال : تاثیر جرم ستون نگهدارنده مخزن آب برفرکانس طبیعی مخزن :
yx=ymax2l33x2l-x3 , yx=ymax2l33x2l-x3
ماکزیمم انرژی جنبشی تیر : Tmax=120lml(y(x))2dx T=Tmaxcosωnt
ml=طول واحد جرم
Tmax=m2l(ymax2l3)0l(3x2l-x3)2dx=12mlymax24l63335l7=12(33140m)ymax2
Tmax=12meqymax2 meq=33140m Meff=M+meq
ωn=kMeff=kM+33140m
ارتعاشات آزاد، با ميرايي ویسکوز :
همانطور که گفته شد ویسکوز میران نیروی F=-Cx
(-) نشان میدهد نیرو درخلاف جهت سرعت است
پس:
mx=-cx-kx
mx+cx+kx= 0
حل معادله xt=cest→ms2+cs+k=0
S1,2=-c±c2-4mk2m=-c2m±(c2m)2-km
x1t=c1es1t, x2t=c2es2t→xt=c1es1t+c2es2t
C1 و C2 ثابتهایی هستند که از روی شرایط اولیه بدست می آید .
میرایی بحرانی (Cc) :
(Cc2m)2-km=0→Cc=2mkm=2km=2ωnm
نسبت ثابت میرایی (δ):
δ=CCc:ویسکوز میرایی نسبت
C2m=CCc.Cc2m=δωn
→S1,2=(-δ±δ2-1)ωn
xt=c1e-δ+δ2-1ωnt +c2e(-δ-δ2-1)ωnt
δ=0 ارتعاشات نامیرا
1-سیستم کندمیرا (δ<1) :
S1=(-δ+i1-δ2)ωn
S2=(-δ-i1-δ2)ωn
xt=C1 e-δ+i1-δ2ωnt +C2e -δ-i1-δ2ωnt
=e-δωntC1ei1-δ2ωnt+C2e-i1-δ2ωnt
=e-δωntC1+C2cos1-δ2ωnt+iC1-C2sin1-δ2ωnt
=e-δωntC1cos1-δ2ωnt+C2sin1-δ2ωnt
=X0e-δωntsin1-δ2ωnt+ϕ0
X0e-δωntCos1-δ2ωnt-ϕ
برای شرایط اولیه :
xt|t=0=x0 ,xt|t=0=x0