مبانی نظری وپیشینه تحقیق تئوري صف خط انتظار

مبانی نظری وپیشینه تحقیق تئوري صف خط انتظار (docx) 63 صفحه

دسته بندی : تحقیق

نوع فایل : Word (.docx) ( قابل ویرایش و آماده پرینت )

تعداد صفحات: 63 صفحه

قسمتی از متن Word (.docx) :

2-2-1- تئوري صف صف يك خط انتظار است، مانند انتظار مشتريان پشت كانترهاي سوپر ماركت. تئوري صف يك تئوري رياضي براي خطوط انتظار مي‌باشد. بطور كلي تئوري صف به دنبال استفاده از مدلسازي رياضي و تجزيه و تحليل سيستمي است كه بتواند به نحو مطلوب به تقاضاهاي تصادفي خدمت‌رساني كند.يك مدل صف به طور كلي بيانگر دو مطلب است: 1- موقعيت فيزيكي سيستم از طريق مشخص كردن تعداد و آرايش خدمت دهندگان كه به مشتريان سرويس مي‌دهند. 2- ماهيت تقاضاها را مي‌توان از طريق متغير گرفتن فرآيند ورود به سيستم و همچنين نحوه سرويس‌دهي به مشريان، مشخص كرد. براي مثال در زمينه ارتباطات كامپيوتري، يك كانال ارتباطي ممكن است يك سرور باشد و پيام نقش مشتري را ايفا كند. زمان تصادفي كه پيامها در انتظار ورود به كانالهاي ارتباطي هستند در واقع ورود به فرايند است و زماني كه طول مي‌كشد تا پيامها از داخل كانالها عبور كنند فرآيند سرويس دهي مي‌باشد. مثال ديگر، هنگاميكه يك برنامه ريز(مشتري) در يك ترمينال نشسته و در انتظار اين است كه بتواند از CPU (سرور) استفاده كند. زمان ورود و ميزان خدمت دهي هر دو تصادفي هستند. مدل از طريق تجزيه تحليلهاي رياضي پارامترهاي مد نظر ما را پاسخ مي‌دهد. پارامترهايي نظير مدت زمان انتظار در صف و سيستم، مدت زمان خدمت دهي، طول صف و غيره. هنر تئوري صف در اين است كه ابتدا يك مدل ساده بسازد و سپس با استفاده از تجزيه تحليلهاي رياضي نتايج بدست آمده را با نتايج واقعي مقايسه كند و با افزودن جزئيات لازم به مدل، مدل ساخته‌شده را با سيستم واقعي هماهنگ كند. (B.Cooper, 2000,1496-1498) 2-2-2- تاريخچه نظريه صف‌بندي به منظور تهيه مدلهايي براي پيش‌بيني رفتار سيستمهايي كه سعي دارند به درخواستهاي تصادفي سرويس دهند، تكامل يافته است اما نه به طور غير طبيعي، از اينرو مسائل اوليه‌اي كه مطالعه شده‌اند تراكم درخواست مكالمات تلفني بوده است. محقق پيشگام اين نظريه، رياضيدان دانماركي ارلانگ بوده است كه در سال 1909 نظريه احتمالها و مكالمات تلفني را منتشر كرد. ارلانگ در كارهاي بعدي‌اش مشاهده كرد كه يك سيستم تلفن عموماً به يكي از دو صورت زير مشخص مي‌شود: 1- ورودي پواسون، زمانهاي اشغال نمايي و با‌جه‌هاي چندگانه (سرويس دهنده‌ها) 2- ورودي پواسون، زمانهاي اشغال ثابت و يك باجه. ارلانگ باني انديشه‌ تعادل مانا، به منظور معرفي آنچه اصطلاحاً تعادل معادلات حالت ناميده مي‌شود و نيز اولين بررسي كننده بهينه‌سازي سيستم صف‌بندي بوده است.تحقيقات مربوط به كاربرد اين نظريه در مورد تلفن بعد از ارلانگ ادامه يافت. در سال 1927 مولينا كاربرد نظريه احتمال در مسائل اساسي تلفن را منتشر كرد كه به دنبال آن يك سال بعد تورنتون فري احتمال و استفاده‌هاي آن در مهندسي را منتشر كرد كه در آن بيشتر كارهاي پيشين ارلانگ تعميم داده شده است. در اوايل سال 1930 فيليكس پولاچك بعضي كارهاي پيشينيان براي ورودي پواسون، خروجي دلخواه و مسائل يك باجه‌اي و چند باجه‌اي را دنبال كرد. در همان ايام كار ديگري در روسيه به وسيله كولموگروف و خينچين، در فرانسه به وسيله كروملن و در سوئد بوسيله پالم انجام گرفت. نخستين فعاليتها در نظريه صف‌بندي نسبتاً به كندي انجام مي‌گرفت، اما از سال 1950 به بعد روند آن تغيير نموده و در اين اواخر كارهاي بسيار زيادي در اين زمينه انجام شده است. ( شاهكار، 1372،50) 2-2-3- برخي از كاربردهاي گوناگون تئوري صف 1- سوپرماركت: چه مدت مشتريان در پشت صندوقها منتظر مي‌مانند؟ در زمانهاي شلوغي فروشگاه چه اتفاقي مي‌افتد؟ آيا تعداد صندوقها كافي است؟ 2- سيستم توليدي: يك ماشين محصولات مختلفي توليد مي‌كند. مدت زمان توليد محصول چقدر است؟ آيا اضافه كردن يك ماشين جديد به صرفه است؟ چگونه بايد سفارشات را اولويت بندي كرد؟ 3- اداره پست: در اداره پست باجه‌هاي متفاوتي هستند. آيا اين باجه‌ها كافي هستند؟ آيا به خوبي مي‌توانند پاسخگوي متقاضيان باشند؟ 4- پاركينگها: هنگاميكه مي‌خواهيم در جلوي يك سوپر ماركت پاركينگ جديدي احداث كنيم، اندازه اين پاركينگ چقدر بايد باشد؟ 5- مركز تلفن شركتهاي بيمه: زمانيكه سوالهاي بيمه‌شوندگان از طريق مركز تلفن پاسخ داده مي‌شود. اين مركز تلفن يك ساختار تيمي دارد كه هر تيم به مشتريان در مناطق خاص كمك مي‌كند. چه مدت مشتريان بايد انتظار بكشند تا بتوانند با اپراتور ارتباط برقرار كنند؟ 6- ابركامپيوترها: براي بسياري از پرداختهاي مالي كامپيوترها بايدبه ابركامپيوترها متصل شوند. آيا اين ابركامپيوترها ظرفيت پاسخگويي به آنها را دارند؟ 7- مهندسي ترافيك: چگونه مي‌توان حجم ترافيك در شهرها را كاهش داد؟ 8- استفاده در تلسكوپهاي WIYN: چگونه مي‌توان با استفاده از مباني تئوري صف باعث بهبود عملكرد تلسكوپها شد . (Boroson& Eta1,1996,1) 2-2-4- مشخصه‌هاي فرآيند صف‌بندي يك سيستم صف‌بندي را مي‌توان چنين توصيف كرد كه متقاضيان براي اخذ سرويس مراجعه مي‌كنند. اگر ارائه سرويس بلافاصله مقدور نباشد منتظر مي‌مانند و بعد از اخذ سرويس سيستم ترك مي‌كنند. شماي اين چنين سيستم پايه‌اي را مي‌توان با شكل 2-1 نشان داد. با اينكه نمودار هر سيستم صف‌بندي را مي‌توان به اين صورت مشخص كرد، اما روشن است كه نمايش نسبتاً دقيق يك چنين سيستمي به مشخص كردن فرآيندهاي زير بنايي نياز دارد. ( شاهكار،1372،51) امكانات سرويس دهي0000000متقاضياني كه دلسرد شده و سيستم را ترك مي‌كنندمتقاضياني كه وارد سيستم مي شوندمتقاضياني كه سرويس گرفته و سيستم را ترك مي‌كنندشكل 2-1 2-2-4-1- الگوي ورود متقاضيان منظور از الگوي ورود مشتري، نوع ارتباط بين ورود مشتريان مي‌باشد. الگوي ورود مشتريان داراي مشخصه‌هاي زير مي‌باشد: - نوع ورود: ورود مشتريها مي‌تواند به صورت انفرادي ياگروهي صورت بگيرد. درمورد وروديهاي گروهي (مثلاً ورود مشترياني كه همزمان به وسيله اتوبوس وارد يك مهمانخانه بين راه مي‌شوند) غالباً با دو موضوع سرو كار داريم: يكي زمان بين دو ورود متوالي گروهها و ديگري تعداد مشتريان هر گروه. - زمان بين دو ورود: اين زمان مي‌تواند ثابت (قطعي) و يا احتمالي باشد كه در صورت احتمالي بودن بايد نوع توزيع آن مشخص شود. - همگن بودن يا نبودن بر حسب زمان: به عبارت ديگر ورود مشتري به سيستم مي‌تواند از زمان مستقل بوده و يا به آن وابسته باشد. يك كميت مفيد براي بررسي الگوي ورود مشتري، آهنگ ورود مشتري است كه طبق تعريف ميانگين تعدادمشترياني است كه در واحد زمان وارد سيستم مي‌شوند. آهنگ ورود مشتري را معمولاً با نشان مي‌دهند. بديهي است كه برابر با عكس ميانگين زمان بين دو ورود متوالي است. در مورد الگوي ورود مشتريان ذكراين نكته ضروري است كه بايد بين مراجعه مشتريان و ورود مشتريان به سيستم تفاوت قائل شد. به عبارت ديگر رفتار مشتري هنگام مراجعه به سيستم ممكن است به يكي از صورتهاي زير باشد. - بدون توجه به طول صف، وارد سيستم شده و در صف بايستد. - با ديدن صف از ورود منصرف شده و به سيستم وارد نشود. - وارد صف شود ولي پس از مدتي انتظار از صف خارج شده و از سيستم بيرون رود. - در صورت وجود صف از ورود به سيستم خودداري كند ولي پس از مدت زماني، مجدداً به سيستم مراجعه كند. آنچه در تحليل صف اهميت بيشتري دارد نرخ و توزيع ورودي است. (شاهكار، 1372،265) 2-2-4-2- الگوي خدمت دهي منظور مدت زمان ارائه خدمت به يك مشتري است. الگوي خدمت‌دهي نيز مانند الگوي ورود مشتري داراي مشخصه‌هاي زير مي‌باشد: - خدمت دهنده: ممكن است تنها به يك مشتري خدمت دهد و يا همزمان به گروهي از مشتريان سرويس دهد. - زمان خدمت: مي‌تواند ثابت و يا داراي ماهيت تصادفي باشد كه درحالت دوم بايد تابع توزيع آن معلوم باشد. - مدت خدمت دهي: ممكن است نسبت به زمان ثابت ويا متغير باشد. آهنگ خدمت دهي طبق تعريف عبارت است از ميانگين تعداد مشترياني كه در واحد زمان از يك خدمت دهنده خدمت دريافت مي‌كنند. اگر آهنگ خدمت دهي را با نشان دهيم، داريم: آهنگ خدمت‌دهي همچنين ممكن است متأثر از طول صف نيز باشد. براي مثال ممكن است نرخ خدمت با طول صف افزايش يابد، يعني هر چه مشتريان در صف زيادتر مي‌شود، خدمت سريعتر انجام مي‌گيرد. ( مدرس يزدي، 1370، 25) 2-2-4-3- تعداد خدمت دهندگان (كانالهاي خدمت) تعداد خدمت دهندگان نيز در تحليل سيستم صف مهم است. در يك سيستم صف اين تعداد ممكن است به طول صف بستگي داشته باشد. فرض بر اين است كه خدمت دهندگان مستقل از هم عمل كنند. ( مدرس يزدي، 1370،27) 2-2-4-4- ظرفيت صف (گنجايش سيستم) منظور از ظرفيت صف، حداكثر تعداد مشترياني است كه مي‌تواند در صف قرار گيرند. ظرفيت صف مي‌تواند بينهايت و يا متناهي باشد. در حالتي كه ظرفيت صف متناهي است، ورود مشتريان تا زماني ادامه دارد كه طول صف كمتر از ظرفيت آن باشد و از آن پس، از ورود مشتري جلوگيري مي‌شود. ( مدرس يزدي، 1370،30) 2-2-4-5- جمعيت مشتريان بالقوه منظور تعداد مشترياني است كه امكان مراجعه به سيستم را دارا مي‌باشند. اين تعداد مي‌تواند متناهي و يا نامتناهي باشد. ( مدرس يزدي، 1370،32) 2-2-4-6- نظم سيستم: منظور از نظم سيستم، نحوه انتخاب مشتريهاي داخل صف براي ارائه خدمت است. در يك سيستم، زمانيكه يكي از خدمت دهنگان بيكار و آماده ارائه خدمت مي‌شود، ضابطه‌هاي مختلفي براي انتخاب مشتري بعدي مي‌تواند وجود داشته باشد. متداولترين حالت، در نظر گرفتن نوبت است، يعني اينكه كسي كه زودتر وارد سيستم شده زودتر انتخاب مي‌شود. اين نظم را FIFO مي‌نامند. در برخي سيستمها ممكن است انتخاب مشتري بر خلاف ضابطه فوق باشد، يعني آن مشتري انتخاب مي‌شود كه ديرتر از همه وارد سيستم شده است. به اين نظم LIFO گويند. پايه ديگري براي انتخاب، انتخاب تصادفي است كه SIRO و يا RSS ناميده مي‌شود. نكته ديگري كه در نظم سيستم داراي اهميت مي‌باشد، مسئله اولويت است در بسياري از سيستم‌ها اهميت مشتريان متفاوت است، به گونه‌اي كه براي گروههاي مختلف مشتري،بر حسب اهميتي كه براي سيستم دارند، اولويتهاي گوناگوني در نظر گرفته مي‌شود. در برخي از سيستمها، بعضي از مشتريان از چنان اولويتي برخوردارند كه به محض ورود به سيستم، ارائه خدمات به آنها شروع مي‌شود. در مورد اين مشتريها، خدمت دهنده موظف است بالافاصله كار خدمت‌دهي به آنها را شروع كند، حتي اگر در حال ارائه خدمت به مشتري ديگري باشد. دراين گونه موارد گويند اولويت همراه با حق انقطاع مي‌باشد. در برخي ديگر از سيستمها،ارائه خدمت نيمه تمام نمي‌ماند امابه مشتريان با اولويت بالاتر، خارج از نوبت خدمت ارائه مي‌شود. در اين گونه مواقع گويند الويت بدون حق‌انقطاع مي‌باشد. ( مدرس يزدي، 1370،40) 2-2-4-7- مراحل خدمت در بعضي از سيستمها خدمت شامل چند مرحله است. سيستمهاي با خدمات چند مرحله‌اي انواع مختلف دارند كه از جمله آنها مي‌تواند به سيستمهاي با مراحل خدمات سري، موازي و تركيبي اشاره كرد. برگشت به عقب نيز يكي از موضوعات مطرح شده در سيستمهاي چند مرحله‌اي است. ( مدرس يزدي، 1370،45) 2-2-5- نحوه نمايش يك سيستم صف يك سيستم صف را در حالت كلي به صورت A/B/M/K/C/Z نشان مي‌دهند. هر كدام از شش حرف فوق، معرف يكي از مشخصه‌هاي سيستم است. A يا A(x) تابع توزيع زمان ما بين دو ورود، B يا B(x) تابع توزيع مدت خدمت دهي، M تعدادخدمت دهنده، K ظرفيت صف، C جمعيت مشريان و Z نظم سيستم را نشان مي‌دهد در قرارداد بالا به جاي A يا B بر حسب اينكه چه تابع توزيعي داشته باشند، از حروف جدول 2-1 به عنوان نوع توزيع استفاده مي‌شود: تابع توزيعحرف اختصارينماييMارلانگ با r مرحلهErقطعيDفوق نمايي از نوع KHkعمومي (كلي)G جدول 2-1 اگر ظرفيت صف بينهايت باشد، چهارمين حرف يعني K و اگر جمعيت مشتريان بالقوه بينهايت باشد حرف پنجم يعني C را مي‌توان حذف كرد. همچنين اگر نظم سيستم بر مبناي نوبت يعني FIFO باشد ششمين حرف را نيز مي‌توان حذف نمود. بايد توجه نمود كه تمام سيستمها را نمي‌توان توسط نمادهاي فوق نمايش داد و براي نشان دادن خصوصيات ومشخصات بسياري از سيستمهاي صف، نمادي تعريف نشده است. 2-2-6- معيارهاي ارزيابي يك سيستم صف براي سنجش علكرد يك سيستم صف، عمدتاً از معيارهاي زير بهره مي‌گيرند: - طول صف: تعداد مشترياني كه منتظر دريافت خدمات هستند و يا مشتريان داخل سيستم. - زمان انتظار هر مشتري در صف يا سيستم: مدت زمان انتظار مشتري براي گرفتن خدمت در صف يا سيستم. - درصد زمان بيكاري سيستم. به علت ماهيت تصادفي بودن معيارهاي فوق در اكثر سيستمها، از اميد رياضي اين متغيرهاي تصادفي استفاده مي‌شود، اما بايد توجه داشت كه ميانگين و يا ساير كميت‌هاي مربوط به معيارهاي مذكور خودنيز تابعي از زمان است. در بسياري از سيستمها در زمان شروع كار سيستم، اين ميانگينها داراي نوسانات زيادي هستند كه با گذشت زمان نوسانات آنها به سمت صفر ميل مي‌كند. دوره گذرا را مدت زماني تعريف مي‌كنيم كه وضعيت سيستم تغيير مي‌كند.اين دوره معمولاً زمان شروع كار سيستم را در بر مي‌گيرد و در آن شرايط اوليه روي تغييرات وضعيت سيستم تأثير مي‌گذارد. دوره پايدار دوره‌ايست كه تغييرات سيستم در آن مستقل از زمان و شرايط اوليه سيستم است. آنچه در نظريه‌صف اهميت دارد، بررسي عملكرد سيستم در دوره پايدار آن است، يعني تعيين معيارهاي ارزيابي در دوره‌پايدار سيستم، هدف نظريه صف مي‌باشد. معيارها را بصورت زير نمايش مي‌دهند: L: ميانگين تعداد مشتريان در سيستم در دراز مدت. Lq: ميانگين تعداد مشتريان در صف در دراز مدت. W: ميانگين مدت زمان انتظار يك مشتري در سيستم در دراز مدت. Wq: ميانگين مدت زمان انتظار يك مشتري در صف در دراز مدت. : احتمال بودن n مشتري در سيستم در دراز مدت. رابطه‌هاي بين معيارهاي ارزيابي يك سيستم در دراز مدت، با استفاده از قوانين ليتل به ترتيب زير به دست مي‌آيد. اين رابطه‌ها كه در نظريه صف اهميت خاصي دارند، در مورد تمام سيستمهاي صف صادق هستند. : آهنگ ورود مشتري : آهنگ خدمت دهي 2-2-7- فرآيند تولد و مرگ اگر مرحله i سيستم را بصورت وضعيت سيستم زمانيكه i عنصر در آن قرار دارد تعريف كنيم، هنگاميكه عنصر جديد با نرخ وارد سيستم مي‌شود از اصطلاح تولد استفاده مي‌كنيم و زمانيكه يك عنصر با نرخ از سيستم خارج مي‌شود گفته مي‌شود در سيستم مرگ صورت گرفته‌است. در اين فرآيند هر تولد و مرگ بصورت تصادفي انجام مي‌شود كه نرخ اين اتفاقات درهر لحظه فقط بستگي به وضعيت سيستم دارد. اگر N(t) تعداد عناصر در سيستم در زمان t باشد و Ei(t) رويدادي كه در لحظه t رخ‌مي‌دهد باشد: شكل 2-2 نشان مي‌دهد كه چگونه رويداد به وجود مي‌آيد. معيارهاي ارزيابي فرآيند تولد و مرگ بصورت زير است: birthNo event deathشكل 2-2: احتمال اينكه در دراز مدت n نفر در سيستم باشد. : احتمال اينكه در درازمدت فردي در سيستم نباشد. جهت سادگي محاسبه Cn را بصورت زير تعريف مي‌كنيم: L: ميانگين تعداد افراد در سيستم: Lq: ميانگين تعداد افراد در صف اگر تعداد خدمت دهنده‌ها برابر C باشد: W: متوسط زمان انتظار در سيستم: Wq: متوسط زمان انتظار در صف: عبارت است از متوسط نرخ ورود مشتري به سيستم در دراز مدت كه به صورت زير محاسبه مي‌شود. با در نظر گرفتن مقادير مختلف كه در فرآيند تولد و مرگ مقادير غير منفي را اتخاذ مي‌نمايند و همچنين با تغييرات مختلف بر روي تعداد وضعيتهاي ممكن، تعداد خدمت‌دهنده‌هاي سيستم و تغييرات مشخصه‌هاي ديگر سيستم‌هاي صف مي‌توان حالتهاي خاص فرايند تولد و مرگ را مورد بررسي قرار داده و نتايج كاربردي مفيدي از آن استخراج نمود.( Bobbio,2000,3) 2-2-7-1- مدل M/M/1 اين مدل يكي از متداولترين نمونه‌هاي مدلهاي صف‌ مي‌باشد كه به مدل كلاسيك نيز معروف است. فرض در اين مدل به اين گونه است مشتريان بصورت تصادفي با نرخ در واحد زمان وارد‌مي‌شوند و با نرخ سرويس مي‌گيرند و از سيستم خارج مي‌شوند. هر دو از توزيع نمايي پيروي مي‌كنند.بصورت كلي مدل M/M/1 بصورت است. چون جمعيت مشتري و ظرفيت سيستم نامحدود است، بطور خلاصه بصورت M/M/1 نمايش مي‌دهيم. در اين مدل نرخ‌ورود به سيستم و نرخ سرويس دهي از توزيع نمايي تبعيت مي‌كنند و در سيستم يك خدمت‌دهنده وجود دارد. براي اينكه مدل از حالت تعادل خارج نشود بايد رابطه زير برقرار باشد: كه ضريب بهره‌وري است و بصورت درصدي از زمان كه سيستم كار مي‌كند تعريف مي‌شود.(Willig,1999,9-10) روابط مهم در مدل M/M/1 عبارتند از: 2-2-7-2- مدل M/M/C در اين مدل سيستم صف داراي C خدمت دهنده‌ مي‌باشد كه آهنگ خدمت دهي هر كدام از اين C خدمت دهنده مساوي يكديگر و برابر بوده و مستقل از وضعيت سيستم يعني تعداد افراد داخل سيستم نيز مي‌باشد. آهنگ ورود مشتريان برابر و مستقل از وضعيت سيستم است. در اينجا آهنگ خروج مشتريان از سيستم متفاوت با آهنگ خدمت‌دهي خواهد بود. هنگاميكه مشتريان داخل سيستم كمتر از c نفر باشند آهنگ خروج مشتريان است چرا كه مدت زمان بين دو خروج متوالي، مينيموم n متغير تصادفي نمايي يعني مدت زمان خدمت دهي n‌‌ نفر از c خدمت دهنده كه مشغول به كار مي‌باشند بوده كه خود يك متغير تصادفي نمايي با پارامتر خواهد بود. از طرف ديگر هنگاميكه تعداد افراد داخل سيستم بيش از c نفر باشد آهنگ‌خروج مشتري برابر است، چون مدت زمان بين دو خروج متوالي در اين حالت مينيموم c متغير تصادفي نمايي خواهد بود. ( ايرواني ، 1372، 60-57) 2-2-7-3- مدل M/M/C/K سيستمهاي صف گاه ممكن است محدوديت ظرفيت داشته باشند، به عبارت ديگر اجازه تشكيل صف بيشتر از يك حد بخصوص به مشتريان داده نمي‌شود و هر مشتري كه مراجعه كرده و با ظرفيت كامل روبرو مي‌گردد اجازه ورود به سيستم را نداشته و از ورود منصرف مي‌گردد. از ديدگاه فرآيند تولد و مرگ نرخ ورود به سيستم از اين حد به خصوص به بعد برابر صفر خواهد بود. بعنوان مثال مي‌توان اتاق انتظار بيمارستان را در نظر گرفت كه مثلاً داراي (K-C) صندلي جهت انتظار باشد ، هنگاميكه مشتري به بيمارستان مراجعه نموده و اتاق انتظار را پر ببيند و با (K-C) نفر در آنجا روبرو گردد از ورود منصرف شده و يا اجازه انتظار در بيرون از اتاق به او داده نشود و از بيمارستان خارج شود. در اينجا k نمايانگر ظرفيت سيستم است يعني ظرفيت افراد در صف برابر (K-C) نفر و افراد در حال خدمت گرفتن C نفر مي‌باشد.آهنگ خروج مشتري از سيستم همانند مدل M/M/C بوده و فقط تنها تفاوت در اين است كه وضعيتهاي سيستم براي مدل M/M/C/K برابر (K و ... و 2 و 1 و 0) بوده و نرخ ورود و خروج براي وضعيتهاي بزرگتر از K برابر صفر است. (Shin, 2006,60-65) 2-2-7-4- مدل M/M/C/C حالت خاص مدل M/M/C/C موقعي است كه K=C باشد، به عبارت ديگر در چنين مدلي فرض مي‌شود كه سيستم گنجايش هيچ صفي را نداشته باشد و ظرفيت سيستم منحصر به تعداد مشترياني است كه مي‌توانند خدمت دريافت نمایند يعني برابر خدمت دهندگان است. ( ايرواني ، 1372،82) 2-2-7-5- مدل در اين مدل فرض بر اين است كه سيستم از نظر خدمت دهندگان محدوديتي نداشته و هر لحظه كه يك مشتري جديد وارد مي‌شود يك خدمت دهنده آماده ارائه خدمت است. مثال بارز اينگونه سيستمها، مدلهاي سلف سرويس مي‌باشد كه در آن خدمت دهنده هر مشتري خود اوست لذا به ازاء هر مشتري يك خدمت دهنده وجود خواهد داشت و مي‌توان تعداد خدمت‌دهندگان را بينهايت تصور نمود. ( ايرواني ، 1372،86 ) 2-2-7-6- مدل M/M/C/K/M كلي‌ترين و پيچيده‌ترين مدل كه مدلهاي قبلي حالت خاصي از آن است، مدل با C خدمت‌دهنده و با محدوديت ظرفيت K و جمعيت مشتري M مي‌باشد. هر مشتري با نرخ وارد سيستم شده و خدمت دهندگان بر طبق توزيع نمايي با پارامتر خدمت ارائه مي‌كنند.دراين مدل تصور مي‌شود كه است. ( ايرواني ، 1372،103-100) 2-2-8- مدلهاي ماركوفي صف زنجيره ماركوف بعداز پروفسور ماركوف به اين نام شهرت يافته است. او اولين كسي بودكه نتايج تحقيقات خود را در سال 1906 دراين زمينه منتشر كرد. ماركوف در سال 1856 در روسيه متولد شد. او در دانشگاه سن پترزبورگ ثبت نام كرد و در آنجا موفق به اخذ مدرك دكترا شد، سپس در همين رشته مشغول به تدريس شد و به عنوان يكي از اعضاي آكادمي علوم در روسيه درآمد. در سال 1905 بازنشسته شد اما تا آخرين لحظات زندگيش به تدريس ادامه داد.كارهاي تحقيقاتي او بر روي زنجيره ماركوف از مطالعه بر روي فرآيندهاي تصادفي نشأت مي‌گيرد. سرانجام او در سال 1922 در سن 66 سالگي در سن پترزبورگ چشم از جهان فروبست.(Ching,2006,1-2) در مدلهاي ماركوفي صف، سيستمهاي صفي كه در ارتباط با زنجيره‌هاي ماركوف بوده ولي فرآيند تولد و مرگ نمي‌باشند در نظر مي‌گيريم، اين بدان معني است كه در نمودار آهنگ انتقال اين مدلها ممكن است هر گره فقط با گره‌هاي قبل و بعد خود ارتباط نداشته بلكه با چند گره ديگر نيز مرتبط باشد. جهت فرموله كردن اينگونه مدلها در قالب سيستمهاي ماركوفي، وضعيت سيستم مي‌بايست به نحوي تعريف گردد كه بتوان مدل را در قالب زنجيره‌هاي ماركوف نمايش داد. در فرآيند تولد و مرگ كه حالت خاصي از سيستمهاي ماركوفي است وضعيت سيستم، تعدادافراد داخل سيستم تعريف شده بود و با اين كار مي‌توانستيم فرايند تولد و مرگ را در قالب زنجيره‌هاي ماركوف مورد بررسي قرار داده و رفتار سيستم را در دراز مدت تجزيه و تحليل نماييم، ولي نكته اينجاست كه با تعريف جمعيت مشتري به عنوان وضعيت سيستم هميشه نمي‌توان مدلهاي مورد نظر را به زنجيره‌هاي ماركوف تبديل نمود، بررسي و تجزيه و تحليل آنها مشكل و در بعضي موارد غير ممكن مي‌باشد، بنابراين در تعريف وضعيت براي اينگونه مدلها بايد دونكته زير را رعايت نمود. 1- وضعيت به نحوي تعريف شود كه وضعيت آينده سيستم فقط بستگي به وضعيت حال و نه وضعيت گذشته داشته باشد. 2- وضعيت به گونه‌اي تعريف شود كه زمان ماندن در هر وضعيت متغير تصادفي نمايي باشد. بعد از تعريف مناسب وضعيت مي‌توان احتمالات حدي سيستم را با استفاده از ماتريس آهنگ انتقال و يا نمودار آهنگ انتقال سيستم به دست آورد. ( ايرواني ، 1372،160-157) با توجه به مطالب فوق به معرفي چند مدل ماركوفي صف مي‌پردازيم. 2-2-8-1- مدل با ورود گروهي: (M(x)/M/1) تصور كنيد در ادامه فرضيات مدل ساده M/M/1 فرض بر اين باشد كه وروديها بر طبق فرآيند پواسون است، بدين معني كه احتمال داشتن n ورودي در يك ساعت از فرآيند پواسون پيروي نمايد، اما تعداد افرادي كه هر ورود داخل سيستم مي‌گردند خود متغير تصادفي X كه مقادير مثبت و صحيح كمتر از بي‌نهايت را با احتمال CX اتخاذ مي‌كند باشد. به عنوان مثال ممكن است در يك ورودي يك گروه 5 نفره وارد شده و در ورودي بعدي يك گروه 12نفره وارد شوند كه احتمال اينكه گروه 5 نفره وارد شوند C5 و براي گروه 12نفره C12 خواهد بود. در فرآيند پواسون اگر نرخ ورود گروهاي X نفره باشد، داريم: كه در آن برابر نرخ ورود كلي براي تمام گروههاست، يعني: در اين مدل زمان خدمت‌دهي كماكان متغير تصادفي نمايي با متوسط بوده و سيستم داراي يك خدمت‌دهنده مي‌باشد، اما در اين مدل مشتريان به صورت گروهي وارد سيستم مي‌شوند. به عنوان مثال رستورانهاي كنار جاده‌ها را در نظر بگيريد، ورودي اين رستورانها مي‌تواند گروهي فرض شود چرا كه تعداد افرادي كه در اتومبيلهاي مراجعه كننده به اين رستوران وجود دارند ممكن است يك نفر، دو نفر و حتي تا 40 نفر براي اتوبوسها باشد، بنابراين ورودي به اين رستورانها گروهي در گروههاي چند نفري متغير بين 1 تا مثلاً 40 نفر خواهد بود.(‌ايرواني ، 1372، 163) 2-2-8-2- مدل با خدمت‌دهي گروهي M/M(y)/1 اگر در يك مدل M/M/1 كه به صورت نوبتي خدمت ارائه مي‌گردد، خدمت‌دهنده بتواند حداكثر به K نفر به طور همزمان خدمت ارائه كند، به عنوان مثال آسانسوري را در نظر بگيريد كه داراي حداكثر ظرفيت 5 نفر باشد، اين آسانسور هنگامي كه به طبقه اول مي‌رسد هرچند نفر كه منتظر باشند (حداكثر 5نفر) را سوار نموده و به طبقات بالاتر مي‌برد، به چنين مدلهاي صفي، مدلهاي صف با خدمت‌دهنده گروهي گويند. اين مدلها را با M/M(y)/1 نمايش داده و در اين مدلها فرض بر آن است كه مدت زمان خدمت‌دهي صرف نظر از اينكه چند نفر مشغول دريافت خدمت مي‌باشند، متغير تصادفي نمايي با متوسط () است اين مدل را مي‌توان حتي به اين صورت در نظر گرفت كه خدمت دهنده تازماني كه تعداد نفرات به K نفر نرسد خدمت را ارائه نداده و صبر مي‌كند تا افرادي كه جهت خدمت گرفتن مراجعه مي‌كنند به K نفر يعني ماكزيمم ظرفيت خدمت‌دهي برسد و سپس خدمت را ارائه مي‌كند. (ايرواني ، 1372،176-173) 2-2-8-3- مدلهاي ارلنگ روش مرحله‌اي امكان مطالعه سيستمهاي ارلنگي را فراهم مي‌سازد. در اين روش زمان خدمت‌دهي و مدت زمان بين دو ورود كه ارلنگ مي‌باشند را به K مرحله تقسيم مي‌نمايد. روش كار بدين صورت است كه سيستم خدمت‌دهي يا ورود مشتري را به صورت يك مكانيزيم در نظر گرفته و فرض مي‌كند كه مشتري كه خدمت دريافت مي‌دارد و يا وارد سيستم مي‌شود مي‌بايست تمام K مرحله اين مكانيزم را پشت سرگذارد. نكته مهم در اينجا آن است كه اين K مرحله عملاً از نظر فيزيكي وجود خارجي ندارند و فقط به علت سادگي در محاسبات رياضي به صورت K مرحله فرض شده‌اند. نكته دوم اينكه مراحل در نظر گرفته شده مستقل و مشابه فرض شده و هر كدام متغير تصادفي نمايي با ميانگين () خواهند بود و نكته مهم سوم اينكه چون اين مراحل مكانيزم واقعاً وجود ندارند لذا دو مشتري نمي‌توانند به طور همزمان در مكانيزم خدمت‌دهي يا مكانيزم ورود قرار‌بگيرند و تا زماني كه يك مشتري در يكي از مراحل مكانيزم وجود دارد مشتري ديگر نمي‌تواند وارد اين مكانيزم شود. (ايرواني ، 1372،187-184) 2-2-8-3-1- مدل M/EK/1 مدلي را در نظر بگيريد كه در آن زمان خدمت‌دهي يك متغير تصادفي ارلنگ از نوع K با متوسط زماني () باشد، گرچه عملاً مكانيزم خدمت‌دهي از K مرحله تشكيل شده است ولي مي‌توان جهت سادگي محاسبات، آن را به صورت مكانيزمي كه از K مرحله پشت سر هم تشكيل شده است و زمان انجام هر مرحله متغير تصادفي نمايي با متوسط () در نظر گرفت. در اين مدل ورودي به صورت انفرادي و بر طبق فرآيند پواسون با پارامتر مي‌باشد. جهت سادگي محاسبات مي‌توان با تعريف وضعيت به صورت زير مدل را در قالب يك زنجيره ماركوف فرموله كرد. تعريف وضعيت (n): وضعيتي كه در آن n مرحله از خدمت افراد داخل سيستم باقيمانده است. (ايرواني ، 1372، 188-187) 2-2-8-3-2- مدل EK/M/1 همانطوري كه در روش مرحله اي جهت مدل M/EK/1 عمل شد، در اينجا نيز مي‌توان با به كارگيري اين روش و تقسيم مكانيزم ورودي به K مرحله كه هر مرحله يك متغير تصادفي نمايي با ميانگين () تصور مي‌گردد، محاسبات را ساده‌تر نمود. در اينجا فرض بر اين خواهد بود كه زمان بين دو ورودي متوالي مشتريها به K مرحله كه هر مرحله متغير تصادفي نمايي است تقسيم‌مي‌گردد، به عبارت ديگر اگر در لحظه‌اي يك مشتري وارد سيستم شده باشد مي‌توانيم فرض‌كنيم كه مراحل ورود مشتري بعدي بلافاصله از همان لحظه شروع مي‌شود و او بايد K مرحله را بگذراند تا عملاً وارد سيستم شود. بدين ترتيب پس از ورود هر مشتري با وجود اينكه هنوز از مشتري بعدي خبري نيست مي‌توان فرض نمود كه او گذراندن اولين مرحله را شروع كرده است. در اين مدل نيز با تعريف مناسب وضعيت مي‌توان سيستم را در قالب يك زنجيره ماركوف فرموله نمود، جهت اين كار بايد وضعيت به گونه‌اي تعريف شود كه زمان ماندن در يك وضعيت متغير تصادفي نمايي باشد. تعريف وضعيت (n): وضعيتي است كه در آن مشتريان داخل سيستم و در حال ورود n مرحله از مكانيزم ورود را جهت ورود به سيستم طي نموده‌اند. (ايرواني ، 1372،197) 2-2-8-4- مدل M/HE2/1 در اين مدل زمان خدمت‌دهي متغير تصادفي فوق نمايي از نوع 2 مي‌باشد. چنين فرض‌مي‌شود كه مشترياني كه در صف قرار دارند هنگامي كه مي‌خواهند وارد كانال خدمت‌دهي گردند، امكان انتخاب انشعاب را دارند. مشتريان با احتمال انشعاب اول و با احتمال () انشعاب دوم مكانيزم خدمت‌دهي را انتخاب مي‌نمايند. مدت زمان ارائه خدمت توسط انشعاب اول مكانيزم خدمت‌دهي متغير تصادفي نمايي با پارامتر و براي انشعاب دوم متغير تصادفي نمايي با پارامتر مي‌باشد. البته بايد در نظر داشت كه در هر لحظه از زمان فقط يك نفر مي‌تواند در مكانيزم خدمت‌دهي قرار داشته باشد. ( ايرواني ، 1372،224-219) 2-2-8-5- نظام اولويت مدلهايي كه تاكنون بررسي كرديم، مدلهايي بر مبناي نظام نوبتي بودند اما نظامهاي مختلف ديگري مثل نظام اولويت وجود دارند كه در سيستمهاي صف مورد استفاده قرار مي‌گيرند. در نظام‌اولويت مشترياني با اولويت بالا صرف نظر از زمان ورودشان در ميان مشتريان ديگر جهت ارائه‌خدمت انتخاب مي‌شوند. در مورد نظام اولويت دو حالت ممكن است وجود داشته باشد: اولويت در صف اولويت در صف و خدمت‌دهي در حالت اولويت در صف و خدمت‌دهي مشتريهايي با اولويت بالاتر، علاوه بر اينكه در صف مقدم بر مشتريهاي با اولويت پايين‌تر مي‌باشند، حتي اگر مشتري با اولويت پايين‌تر مشغول دريافت خدمت باشد مي‌بايست خدمت او نيمه تمام گذاشته شده و به مشتريان با اولويت بالاتر خدمت ارائه گردد و هنگامي كه ديگر مشتري با اولويت بالاتر در سيستم وجود نداشت دوباره بقيه خدمت‌دهي به مشتري با اولويت پايين‌تر شروع شود. در حالت اولويت در صف مشتري با اولويت بالا فقط مي‌تواند در جلوي صف قرار گرفته و منتظر خدمت مشتري با اولويت پايين‌تر مي‌گردد و پس از اتمام خدمت او، خدمت خود را دريافت كند. (ايرواني ، 1372،237- 236 ) 2-2-9-1- شبكه‌هاي صف شبكه‌هاي صف شامل تعدادي ايستگاههاي خدمت‌دهي هستند كه توانايي پاسخگويي مناسبتري را براي سيستمهايي كه شامل منابع متفاوت و زيادتري هستند فراهم مي‌سازند. در شبكه‌هاي‌صف حداقل دو ايستگاه خدمت‌رساني وجود دارد كه با يكديگر در ارتباط هستند. يك پايگاه (گره) در شبكه نمايشگر يك منبع در سيستم واقعي است. مشتريان بين هر دو گره در شبكه مي‌توانند منتقل شوند. يك مشتري مي‌تواند مستقيماً به همان گره‌اي كه آن را ترك كرده باز گردد. شبكه‌هاي باز، شبكه‌هايي هستند كه مشتريان بتوانند وارد شبكه شوند يا بتوانند آن را ترك‌كنند. همه گره‌ها مي‌توانند مشتريان را از خارج سيستم بپذيرند و مشتريان از همه گره‌ها مي‌توانند سيستم را ترك كنند. يك شبكه زماني بسته ناميده مي‌شود كه نه مشتري بتواند از خارج وارد شبكه‌شود و نه بتواند از سيستم خارج شود. تعداد مشتريان در شبكه‌هاي بسته ثابت است. سيستمي كه تا زماني كه مشتري قبلي سيستم را ترك نكرده قادر به گرفتن مشتري جديد نباشد را نيز مي‌تواند شبكه بسته در نظر گرفت. (Bolch& Eta1,2006,323-330) 2-2-9-2- شبكه‌هاي جكسون زماني كه جكسون شبكه‌هاي صف را مورد بررسي قرار مي‌داد به مطالب با ارزشي دست‌يافت. او شبكه‌هايي كه داراي سه خاصيت زير باشد را شبكه‌هاي جكسون ناميد. ورودي از خارج سيستم به گره i بر طبق فرآيند پواسون با نرخ صورت پذيرد. زمان خدمت‌دهي براي هر كانال خدمت‌دهي در گره i مستقل از يكديگر و مستقل از ساير گره‌ها بوده و متغير تصادفي نمايي با پارامتر باشد. احتمال اينكه يك مشتري كه خدمت‌دهي او در گره i تمام شده است وارد گره j شود، برابر rij بوده و مستقل از وضعيت سيستم باشد و rio نمايانگر احتمال خروج مشتري از سيستم پس از دريافت خدمت از گره i مي‌باشد. حالتي كه براي تمام گره‌ها باشد يعني هيچ مشتري از خارج وارد سيستم نگردد. همچنين براي تمام گره‌ها بوده، يعني هيچ مشتري سيستم را ترك نكند. شبكه‌هاي فوق به «شبكه‌هاي بسته جكسون» معروف هستند. (ايرواني ، 1372،282-281) 2-2-9-2-1- شبكه صفهاي سيكلي 21شكل 2-3حالتي كه و براي ساير گره‌ها (rij=0) باشد. در اين حالت مشتريان از گره 1 به گره 2 رفته و از آنجا هم دوباره به گره 1 برمي‌گردند و هميشه يك سيكل را طي مي‌كنند. به چنين شبكه بسته‌اي، «صفهاي سيكلي» گويند. شكل 2-3 يك ‌شبكه ‌صفهاي سيكلي را نشان مي‌دهد. (ايرواني ، 1372،282) 2-2-9-2-2 سيستمهاي سري صف حالتي از شبكه جكسون كه داراي K گره بوده و اگر1=i:در غير اين صورت:: 1= rij: 1در غير اين صورت: اين شبكه‌ها تحت عنوان «سيستمهاي سري صف» ناميده مي‌شوند و همانطور كه مشخص است گره‌ها تقريباً حالت يك سيستم پيوسته سري را به وجود مي‌آورند و حركت مشتريان همواره در جهت مستقيم از يك گره به گره ديگر است. شكل 2-4 بيانگر اين مطلب است. شكل 2-4 مشتريان از خارج سيستم فقط به گره 1 وارد شده و فقط از گره k خارج مي‌شوند. يك مثال بارز از اين سيستمها مي‌تواند خطوط مونتاژ محصول باشد كه محصول مي‌بايست از يك سري ايستگاههاي كاري پشت سر هم عبور نمايد. اولين سيستم سري صفي كه مورد توجه قرار مي‌گيرد، سيستم صفي است كه محدوديتي از نظر فضاي انتظار بين گره‌هاي مختلف در آن وجود ندارد. ورودي سيستم پواسون با نرخ و زمان خدمت‌دهي هر خدمت‌دهنده در ايستگاه i () متغير تصادفي نمايي با متوسط زمان () مي‌باشد و اگر محدوديت فضاي اتاق انتظار وجود نداشته باشد هر ايستگاه كاري مي‌تواند به صورت مجزا از ديگر ايستگاهها به صورت يك سيستم صف مورد تجزيه و تحليل قرار گيرد. اگر ايستگاه كاري اول يك مدل M/M/C1 در نظر گرفته شود، لازم خواهد بود تا توزيع زمان بين دو خروج در اين ايستگاه را مشخص كنيم زيرا جهت تجزيه و تحليل ايستگاه دوم اين توزيع خروجی دقيقاً برابر توزيع ورودي ايستگاه دوم خواهد بود. نكته قابل توجه در اينجاست كه توزيع زمان بين دو خروجي ايستگاه اول دقيقاً برابر توزيع ورودي آن يعني پواسون با متوسط () مي‌باشد. در تمام ايستگاههاي M/M/C اين مسئله مصداق دارد، يعني تمام ورودي ايستگاهها بر طبق فرآيند پواسون با پارامتر خواهد بود، در نتيجه تك‌تك ايستگاهها را مي‌توان به صورت يك صف مجزا با ورودي پواسون با پارامتر در نظر گرفت و لذا در مورد كل سيستم اظهار نظر نمود. به عبارت ديگر مدت زمان بين دو خروج متوالي در مدل M/M/C يك متغير تصادفي نمايي با پارامتر است. اين نتيجه را مي‌توان با استدلال ساده‌اي نيز به دست آورد. هنگامي كه سيستم صف در حال تعادل است، بدين معني است كه در درازمدت تعداد متوسط افراد داخل سيستم برابر L نفر است، بنابراين اگر اين سيستم بخواهد همچنان پايدار بوده و اين تعداد متوسط افراد نيز در آن ثابت بماند مي‌بايست به هر تعداد مشتري كه به طور متوسط در واحد زمان وارد سيستم مي‌شوند، به همان اندازه نيز در واحد زمان از سيستم خارج شوند، در نتيجه متوسط خروجي سيستم همان نفر در واحد زمان خواهد بود. (ايرواني، 1372،286-282) 2-2-9-2-3- شبكه‌هاي باز جكسون يك شبكه داراي K ايستگاه خدمت‌دهي را در نظر بگيريد. در شبكه‌هاي باز جكسون مشتريها مي‌توانند از خارج بر طرق فرآيند پواسون به هر كدام از گره‌ها وارد شوند و متوسط تعداد مشتريهاي كه از خارج به گره i وارد مي‌شوند را با نمايش مي‌دهيم. زمان خدمت‌دهي تمام خدمت‌دهندگان در گره‌ها بر طبق توزيع نمايي با نرخ مي‌باشد. هنگامي كه مشتري خدمت خود را در گره i دريافت كرد با احتمال rij مستقل از وضعيت سيستم به گره j خواهد رفت و احتمال نمايانگر احتمال خروج مشتري از شبكه، بعداز دريافت خدمت از گره i مي‌باشد، همچنين فرض مي‌كنيم كه هيچ‌گونه محدوديت ظرفيتي در گره i وجود ندارد، به عبارت ديگر حالت بلوكه شدن در سيستم به هيچ وجه به وجود نمي‌آيد. با در نظر گرفتن اين فرضيات مي‌توان به اين شبكه‌ها از بعد سيستمهاي ماركوفي نگريست و همان روند تجزيه و تحليل را با تعريف مناسب وضعيت براي شبكه‌ها انجام داد. (ايرواني، 1372،300-394) 2-3- مدلهاي آماري سودمند در جريان انجام هر شبيه‌سازي وضعيتهاي متعددي پيش مي‌آيد كه پژوهشگر ممكن است در آنها مايل به معرفي پيشامدهاي احتمالي باشد. در هر سيستم صف، مدتهاي بين دو ورود و مدتهاي خدمت‌دهي، اغلب احتمالي است. در يك مدل موجودي مدت بين تقاضا و مهلتهاي تحويل ممكن است احتمالي باشد. در هر مدل پايايي، مدت زمان بازماني ممكن است احتمالي باشد. در هر يك از اين موارد، شبيه‌ساز علاقه‌مند به توليد پيشامدهاي تصادفي و استفاده از مدل آماري معلومي است كه بتواند توزيع مبنا را بيابد. در مثالهاي صف، معمولاً مدتهاي بين دو ورود و مدتهاي خدمت‌دهي احتمالي هستند، اما ممكن است مدت بين دو ورود ثابت باشد مانند مونتاژ نوعي خودرو كه با سرعت ثابتي حركت مي‌كند يا مدت خدمت‌دهي ثابت باشد مانند انجام نقطه جوش توسط ربات در خط مونتاژ. در شبيه‌سازي سيستمهاي صف انتظار، توزيع مدتهاي بين دو ورود و توزيع تعداد موارد ورود در هر دوره زماني با اهميت شمرده مي‌شود. ورودها به راههاي بسيار رخ مي‌دهند به طور مثال به صورت شكستنهاي ماشين، سفارشهاي وارد شونده به يك كارگاه، واحدهاي در دست مونتاژ در يك خط، رسيدن سفارشها به يك انبار. مدتهاي خدمت‌دهي ممكن است ثابت يا احتمالي باشند. اگر مدتهاي خدمت‌دهي كاملاً تصادفي باشد، در شبيه‌سازي اغلب از توزيع نمايي استفاده مي‌شود. اما چند امكان ديگر نيز وجود دارد. ممكن است كه مدتهاي خدمت‌دهي ثابت باشد اما برخي تغييرات تصادفي باعث نوساني در هر يك از جهات مثبت يا منفي شود، مثلاً مدت زمان لازم براي تراشيدن يك شافت 10سانتيمتري با يك دستگاه تراش بايد همواره يكسان باشد، اما آلياژ مي‌تواند تفاوتهاي كوچكي از لحاظ سختي داشته‌باشد يا ابزار برش ممكن است فرسوده شود و مدتهاي پردازش متفاوتي را موجب شود. در اين قسمت به معرفي مختصر مهمترين توزيعهاي آماري كه در شبيه‌سازي سيستمهاي‌صف كاربرد فراواني دارند مي‌پردازيم.(بنكس كارسن ،1384، 160- 155) 2-3-1- توزيع برنولي آزمايشهايي كه داراي دو پيامد ممكن باشد و احتمال موفقيت و شكست هر پيامدي از آزمايشي به آزمايش ديگر ثابت باشد و ضمناً آزمايشها مستقل از هم انجام شوند. در اين صورت به هر يك از آزمايشهاي مزبور يك آزمايش برنولي و توزيع تعداد موفقيتها (0 يا 1) را توزيع برنولي گويند. احتمال موفقيت در يك آزمايش را با p و احتمال عدم موفقيت را با p-1 يا q نشان مي‌دهيم. واضح است كه چون اين دو احتمال مكمل هم هستند 1=q+p خواهد بود.(عادل آذر،1382،209) 2-3-2- توزيع دو جمله‌اي در n آزمايش برنولي كه در آن احتمال موفقيت p است، متغير تصادفي X را تعداد موفقيتها در نظر مي‌گيريم. توزيع احتمال X را توزيع دو جمله‌اي با احتمال موفقيت P مي‌ناميم كه در آن متغير تصادفي X مي‌تواند مقادير 0، 1، ...، n را انتخاب كند. فرمول توزيع دوجمله‌اي به اين گونه‌است: (عادل آذر،1382،212) 2-3-3- توزيع دوجمله‌اي منفي در آزمايشهاي برنولي، گاهي مي‌خواهيم احتمال x موفقيت از n آزمايش را بدانيم كه در آنها k موفقيت رخ مي‌دهد، علاقه‌مند هستيم كه به توزيع دوجمله‌اي منفي مربوط مي‌شود. مثلاً احتمال اينكه پنجمين فردي كه شايعه را شنيده، دومين فردي باشد كه آن را باور مي‌كند يا احتمال اينكه ششمين كالاي معيوب در يك كارتن، پنجمين كالاي معيوبي باشد كه مأمورين كنترل كيفيت متوجه آن شده‌اند. توزيع دو جمله‌اي منفي بدين گونه محاسبه مي‌شود. (عادل آذر،1382،217) 2-3-4- توزيع هندسي اگر در توزيع دو جمله‌اي منفي 1=k باشد، يعني بخواهيم اولين موفقيت را در x آزمايش بدانيم باز هم مي‌توان از اين توزيع استفاده كرد ولي اين حالت، حالت خاصي از توزيع دو جمله‌اي ‌منفي است كه آن را توزيع هندسي مي‌نامند. مثلاً احتمال اينكه پنجمين فردي كه شايعه‌اي را شنيده اولين فردي باشد كه آن را باور مي‌كند. براي محاسبه توزيع هندسي از اين رابطه استفاده مي‌كنيم: (عادل آذر،1382،219- 218) 2-3-5- توزيع چندجمله‌اي اگر آزمايشي شامل بيش از دو پيامد ممكن باشد و احتمال هر پيامد در آزمايشهاي مختلف ثابت و آزمايشها مستقل از يكديگر باشند، توزيع مربوط به آن، توزيع چند جمله‌اي است. تنها تفاوت اين توزيع با توزيع دوجمله‌اي اين است كه در توزيع دوجمله‌اي دو پيامد موفقيت و شكست وجود‌دارد، ولي در اين توزيع بيش از دو پيامد ممكن است وجود داشته باشند. مثلاً نتيجه مسابقه‌اي ممكن است برد، مساوي و يا باخت باشد. اگر آزمايشي n بار به صورت مستقل انجام گيرد و هر آزمايش شامل K پيامد مجزا با احتمالهاي ثابت باشد به طوري كه باشد، آنگاه احتمال وقوع 1x بار از پيامد 1، 2x بار از پيامد 2، ... ، xk بار از پيامد k داراي چنين توزيعي است: اين توزيع چند جمله‌اي است و در آن است. ( عادل آذر ، 1382، 220) 2-3-6- توزيع پواسون معمولاً تعداد مراجعاتي كه به سيستمي مي‌شود، از توزيع پواسون برخوردار است كه در اين صورت متوسط تعداد مراجعات در واحد زمان است مثلاً تعداد مشترياني كه در هر ساعت به يك سيستم صف مراجعه مي‌كنند، تعداد اتومبيلهايي كه در هر دقيقه براي زدن بنزين به پمپ بنزين مراجعه مي‌كنند، مي‌تواند داراي توزيع پواسون باشند.در اين حالت فرمول توزيع پواسون به صورت زير است: در اين رابطه، t واحد زماني است كه متوسط مراجعات () با توجه به آن تعريف مي‌شود. (عادل آذر،1382، 224) 2-3-7- توزيع يكنواخت يكي از ساده‌ترين و در عين حال مهمترين توزيعها، توزيع احتمال يكنواخت است. متغير پيوسته X را در نظر بگيريد كه مقادير خود را بين دو نقطه و انتخاب مي‌كند و است. اگر احتمال وقوع X در فاصله‌هاي هم‌اندازه، در فاصله و برابر باشد، چگالي احتمالي مربوط به آن يكنواخت خواهد بود. براي به دست آوردن تابع توزيع يكنواخت بايد از تابع چگالي آن انتگرال بگيريم. (عادل آذر،1382،247- 246 ) 2-3-8- توزيع نمايي اگر تعداد موفقيتها يا وروديها داراي توزيع پواسون باشد، زمان بين موفقيتها يا وروديهاي متوالي داراي توزيع نمايي منفي است كه به اختصار توزيع نمايي گفته مي‌شود. تابع چگالي توزيع نمايي به اين صورت است: x>0f(x)=در غير اين صورت در اين تابع پارامتر توزيع است و متوسط تعداد موفقيتها يا وروديها را در واحد زمان نشان مي‌دهد. تابع چگالي همواره نزولي است. تابع توزيع اين متغير تصادفي به شكل زير محاسبه مي‌شود: به همين ترتيب، احتمال اينكه زمان بين دو موفقيت يا دو ورود بيش از x طول بكشد برابر است با: (عادل آذر،1382 ، 251-249) 2-3-9- توزيع نرمال مهمترين توزيع پيوسته، توزيع نرمال است. توزيع نرمال، توزيع زنگي شكل است كه اولين‌بار در قرن هجدهم مورد بررسي قرار گرفت. زماني متعتقد بودند كه پديده‌هاي واقعي بايد داراي اين توزيع باشد وگرنه در داده‌ها و روش جمع‌آوري آنها بايد ترديد كرد، به همين دليل آن را توزيع نرمال نام نهادند. به تدريج با بررسيهاي بيشتر نادرستي اين فكر مشخص شد و توزيعهاي ديگري مطرح‌گرديد، با اين حال اين توزيع نقشي اساسي در آمار دارد و داراي كاربردهاي وسيعي است، زيرا كه اولاً خيلي از پديده‌ها طبيعي داراي اين توزيع هستند و ثانياً شكل حدي بسياري از توزيعهاي ديگر نرمال است. توزيع نرمال را مي‌توان چنين تعريف كرد: متغير تصادفي پيوسته ‌X با ميانگين و انحراف معيارت داراي توزيع نرمال است، اگر تابع چگالي آن به اين صورت باشد: دو پارامتر نرمال و است كه با مشخص بودن آنها، توزيع دقيقاً مشخص و منحني آن قابل ترسيم است. (عادل آذر،1382 ، 260-258)‌ 2-3-10- توزيع گاما تابع توزيع گاما از سه پارامتر مجزا تشكيل شده است. اگر متغير تصادفي پيوسته x با تابع چگالي احتمال زير باشد، گوييم متغير تصادفي x از تابع توزيع گاما با پارامتر پيروي مي‌كند. (1) كه بصورت زير محاسبه مي گردد: (2) اين تابع توزيع يك شكل ساده از توزيع نمايي است زمانيكه باشد. اگر به جاي x در رابطه (1)، قرار دهيم كه يك پارامتر مقياسي است، دومين پارامتر گاما بدست مي آيد: (3) كه اگر در رابطه (3)، قرار دهيم همان رابطه (1) به دست مي آيد. اگر x با جايگزين شود كه يك پارامتر مكاني است پارامتر سوم توزيع گاما بصورت زير محاسبه مي گردد: (Aksoy,1999,419-421) 2-3-11- توزيع بتا از توزيع بتا براي مدل كردن متغيرهاي تصادفي كه بين دو حد تعريف شده تغيير مي كنند، استفاده مي شود. در مدل كردن مسائل اجتماعي استفاده كردن از توزيع بتا بسيار سودمند است. براي بدست آوردن پارامترهاي و مي توانيم چگالي مطلوب در دامنه (1و0) را به دست آوريم. با افزايش هر دو پارامتر و واريانس را كاهش مي‌دهيم و در نتيجه توزيع حول ميانگين قرار مي‌گيرد. چند نمونه كه مي توان متغيرهاي تصادفي را با توزيع بتا مدل كرد عبارتند از: 1- درصد معيوبيتها در يك نوع محصول توليد شده. 2- درصد چربي در پاكتهاي شير. 3- نسبت چربي در يك تكه گوشت. اگر x يك متغير تصادفي با توزيع بتا در بازه ]1و0[ با پارامترهاي و باشد، تابع توزيع برابر است با: در غير اينصورت اميد رياضي و واريانس توزيع بتا از روابط زير محاسبه مي گردد: (Nolan,2003,63-65) 2-3-12- توزيع لاجستيك توزيع لاجستيك يك تابع چگالي احتمال پيوسته متقارن است. اين توزيع شباهت زيادي با توزيع نرمال دارد و اين دو توزيع به سادگي قابل تشخيص از يكديگر نيستند. توزيع لاجستيك از 2 پارامتر و تشكيل شده است. تابع چگالي احتمال توزيع لاجستيك برابر است با: اميد رياضي و واريانس اين توزيع به صورت زير است: (Elfattah,2007,1650-1651) 2-3-13 - توزيع مثلثي اين توزيع در مواقعي كه اطلاعات بسيار ناچيز است به كار گرفته مي شود. در اين توزيع فقط مقادير مينيموم، ماكزيمم و مقداري كه بالاترين احتمال وقوع را دارد مورد نياز مي باشد. تابع چگالي احتمال توزيع مثلثي بصورت زير است. در غير اينصورت اميد رياضي و واريانس توزيع مثلثي بصورت زير محاسبه مي گردد. (Van Drop,2002,64-66) 2-3-14- توزيع ارلنگ متغير تصادفي x داراي تابع چگالي احتمال گاما است اگر: كه در آن همان انتگرال گاماست و پارامترهاي اين توزيع مي‌باشند، حالت خاصي از توزيع گاما را كه در آن ، مي باشد را در نظر بگيريد كه در آن k عدد مثبت و صحيح و عدد مثبت است. با اين فرضيات خانواده اي از توزيع گاما به نام توزيع ارلنگ خود را نشان مي دهد، يعني: پارامترهاي توزيع ارلانگ همان k و خواهند بود و حد متوسط و واريانس آن بصورت زير است: (ايرواني ، 1372، 186-184) 2-3-15- توزيع ويبل اين توزيع از سه پارامتر ، و تشكيل يافته است. چگالي احتمال اين توزيع برابر است با: تابع توزيع تجمعي به صورت زير محاسبه مي گردد: (Zaindin , 2009,2-5) 2-4 آزمونهای برازندگی 2-4-1 آزمون مربع کاي از روشهای آزمودن این فرض که نمونه تصادفی n تایی (از متغیر تصادفی x) از توزیع‌احتمال مشخصی پیروی می کند، آزمون برازندگی مربع کای است. این آزمون برای نمونه هایی با اندازه های بزرگ و در شرایطی که پارامترها طبق روش درستنمایی ماکسیمم برآورد شوند، اعتبار دارد. به منظور اجرای آزمون مربع کای، ابتدا باید n مشاهده را در مجموعه ای با k فاصله رده ای یا خانه قرار داد. آماره آزمون را طبق رابطه زیر به دست می آوریم. که در آن Oi و Ei به ترتیب معرف فراوانی مشاهده شده و فراوانی انتظاری در فاصله رده ای i ام هستند: فراوانی انتظاری را از رابطه Ei=npi به دست می آوریم که در آن pi احتمال فرضی مربوط به فاصله رده ای i ام است. می توان ثابت کرد که به سمت توزیع احتمال مربع کای با K-S-1 درجه آزادی میل می کند که S معرف تعداد پارامترهای توزیع مفروض است که آنها را با استفاده از داده های آماری نمونه برآورد کرده ایم. فرضها عبارتنداز: H0: متغیر تصادفیX، با توزیع احتمالی مفروض که پارامتر(های) آن به شرح برآورد (های) پارامتری است می خواند. H1: متغیر تصادفی X با توزیع احتمال مفروض، نمی خواند. به هنگام استفاده از آزمون مربع کای، اگر فراوانیهای انتظاری بیش از حد کوچک باشند آماره نه تنها انحراف فراوانی مشاهده شده از فراوانی انتظاری، بلکه همچنین کوچکی مقدار فراوانی انتظاری را منعکس می کند. گرچه در مورد کوچکترین مقدار قابل قبول برای Ei اتفاق نظر وجود دارد. اگر مقدار Ei خیلی کوچک باشدمی توان آنرا با فراوانیهای انتظاری فاصله های رده ای مجاور خود ادغام کرد. در چنین شرایطی بدیهی است که Oi های مربوط به این Ei ها را نیز باید درهم ادغام و به ازای هر خانه حاصل از این ادغام یک واحد از k کم کرد. اگر توزیع احتمال در دست آزمون گسسته باشد، هر مقدار متغیر تصادفی به منزله یک فاصله رده‌ای خواهد بود، مگر اینکه ادغام فاصله های رده ای مجاور در یکدیگر لازم باشد. در مورد توزیعهای احتمال گسسته، اگر نیازی به ادغام فاصله های رده ای مجاور نباشد، Pi ها را به صورت زیر محاسبه می کنیم: در غیر اینصورت Pi را با جمع کردن احتمال خانه‌های مناسب مجاور یکدیگر به دست می آوریم. در صورتی که توزیع در دست آزمون مربوط به یک متغیر تصادفی پیوسته باشد، فاصله های رده ای را به صورت مشخص می کنیم که نقاط شروع و پایان فاصله i ام را با نماد گذاری می کنیم. اگر تابع تجمعی یک متغیر تصادفی را در مورد متغیر تصادفی پیوسته، به ترتیب f(x) و F(x) فرض کنیم، Pi به طریق زیر تعیین می شود: در مورد حالت گسسته، تعداد فاصله های رده ای با محاسبه تعداد خانه های پدید آمده پس از ادغام خانه های مجاور، تعیین می شود. اما در مورد حالت پیوسته، روال کار چنین است که تعداد فاصله های رده ای را باید قبلا مشخص کرد، گرچه ضوابطی کلی برای تعیین فاصله های رده ای در حالت پیوسته وجود ندارد.( بنكس كارسن ،1384 ،‌ 480-478) 2-4-2 آزمون برازندگی کولموگروف- اسمیرنف آزمون کولموگروف- اسمیرنف که به افتخار دو آماردان روسی به این نام خوانده می‌شود، روش ناپارامتری ساده‌ای برای تعیین همگونی اطلاعات تجربی با توزيع‌‌هاي آماری منتخب است. بنابراین این آزمون که آنرا با KS نمایش می‌‌دهیم، روش دیگری علاوه بر روش مربع کای برای همگونی یک توزیع فراوانی نظری برای اطلاعات تجربی است. در مواردی که اندازه نمونه کوچک باشد و هیچ یک از پارامترهای توزیع احتمال منتخب براساس داده های تجربی‌برآورد نشده باشد،به کارگیری آزمونKS بسیارسودمند است. اگر پارامترهای توزیع برآورد شده باشد، مقادیر بحرانی جدول KS اریب و بسیار محافظه کارانه خواهد بود، بدین معنی که مقادیر بحرانی جدول بسیار بزرگ و در نتیجه، خطای نوع اول کوچکتر از مقدار تعیین شده است. در اینجا بد نیست مزایای هر یک از دو آزمون مربع کای و KS را بر دیگری برشماریم: یکی از مزایای آزمون KS این است که هر یک از مشاهدات را به صورت اصلی در نظر می گیرد، در حالیکه آزمون مربع کای به طبقه بندی مشاهدات پرداخته و بدین جهت مقداری از اطلاعات راازدست می دهد. دوم اینکه در مواردی که تعداد مشاهدات n، کوچك است آزمون KS به دلیل دقیق بودن اعمال شدنی است حال آنکه آزمون مربع کای اساسا برای نمونه های بزرگ استفاده می‌شود. سوم اینکه آزمون KS نسبت به آزمون مربع کای از سادگی و سهولت بیشتری برخوردار است. حال مزایای آزمون مربع کای را برمی شماریم: اول اینکه آزمون مربع کای را به سادگی می توان طوری تغییر داد تا امکان تخمین پارامترها نیز به وسیله مشاهدات میسر شود ولی آزمون KS چنین انعطاف پذیری را ندارد. دوم اینکه آزمون مربع‌کای را می توان هم در داده های پیوسته و هم گسسته به کار برد در حالیکه آزمون KS فقط در داده های پیوسته اعمال شدنی است.(بنكس كارسن، 1384، 490- 488) 2-5 تصمیم گیریهای چند معیاره مدلهای بهینه سازی از دوران نهضت صنعتی در جهان و به خصوص از زمان جنگ دوم جهانی همواره مورد توجه ریاضیدانان و دست اندرکاران صنعت بوده است. تاکید اصلی بر مدلهای کلاسیک بهینه سازی، داشتن یک معیار سنجش (یا یک تابع هدف) می باشد، بصورت زیر: بهینه کنید بطوریکه مدل مذکور می تواند در مجموع بصورت خطی، غیر خطی یا مخلوط باشد. اماتوجه محققین دردهه های اخیرمعطوف به مدلهای چندمعیاره‌برای تصمیم گیریهای پیچیده تر گردیده است، در این تصمیم‌گیریها استفاده از چندین معیار سنجش ممکن است استفاده گردد. این مدلهای تصمیم‌گیری به دو دسته عمده تقسیم می‌شوند: مدلهای چند هدفه (MODM) و مدلهای چند شاخصه (MADM)، بطوریکه مدلهای چند هدفه به منظور طراحی به کار گرفته می‌شوند در حالیکه مدلهای چند شاخصه به منظور انتخاب گزینه برتر استفاده می‌گردند. مدل چند هدفه (MODM) را می توان به صورت زیر فرموله کرد: بهینه کنید این مدل مشهور به VMP بوده و طراحی نقطه بهینه برای آن از یک مجموعه غیر تهی صورت پذیر خواهد بود. مدل چند شاخصه (MADM) بصورت ماتریس تصمیم گیری زیر فرموله می گردد: Xn...X2X1شاخصگزینهr1n...r12r11A1r2n...r22r21A2r3n...r32r31A3.....................rmn...rm2rm2Am A1 ، A2،.... وAm در ماتریس تصمیم گیری D به ترتیب تشکیل دهنده m گزینه از قبل معلوم است، xn….., x2, x1 نشان دهنده n شاخص مانند هزینه، ظرفیت، سوددهی، راحتی، شهرت و... برای سنجش مطلوبیت هر گزینه بوده و سرانجام عناصر rij بیانگر مقادیر خاص از شاخص j ام برای گزینه i ام است.واضح است که‌شاخصهای xj ممکن است کمی یا کیفی باشند. (اصغرپور، 1385،5-1) 2-5-1 روش تاپسيس یکی از روشهای پر کاربرد در تصمیم‌گیریهای چند معیاره روش تاپسیس می‌باشد. در این روش علاوه بر در نظر گرفتن فاصله یک گزینه از نقطه ایده آل، فاصله آن از نقطه ایده آل منفی هم در نظر گرفته می شود. بدان معنی که گزینه انتخابی باید دارای کمترین فاصله از راه حل ایده آل بوده و در عین حال دارای دورترین فاصله از راه حل ایده آل منفی باشد. واقعیات زیر بنایی این روش بدین قرار است: الف: مطلوبیت هر شاخص باید به طور یکنواخت افزایشی (کاهشی) باشد، که بدان صورت بهترین ارزش موجود از یک شاخص نشان دهنده ایده آل آن بوده و بدترین ارزش موجود از آن مشخص کننده ایده آل منفی برای آن خواهد بود. ب: فاصله یک گزینه از ایده آل ممکن است بصورت فاصله اقلیدسی و یا به صورت مجموع قدر مطلق از فواصل خطی محاسبه گردد، که این امر بستگی به نرخ تبادل و جایگزینی در بین شاخصها دارد. الگوریتم روش تاپسيس بصورت خلاصه: 1. تبدیل ماتریس تصمیم گیری موجود به یک ماتریس «بی مقیاس شده». 2. ایجاد ماتریس «بی مقیاس» وزین با مفروض بودن بردار W به عنوان ورودی به الگوریتم. 3. مشخص نمودن راه حل ایده آل و راه حل ایده آل منفی. 4. محاسبه اندازه جدايی ( فاصله). 5. محاسبه نزدیکی نسبی به راه حل ایده آل. 6. رتبه بندي گزينه‌ها. قابل ذكر است زماني كه از نظرات چندين خبره استفاده مي‌كنيم از ميانگين وزين تجمعي به صورت زير استفاده مي‌نمائيم:( اصغر پور ، 1382 ، 48-45) 2-6-1- تاريخچه شبيه سازي تاريخچه شبيه سازي به 5000 سال قبل يعني بازيهاي جنگي چيني‌ها برمي‌گردد. اين بازيها كه Weibi ناميده مي شدند، تا سال 1780، يعني زمانيكه بعضي از كشورها از آن در آموزش ارتش خود بهره گرفتند ادامه داشت. از آن زمان تاكنون تمام نيروهاي اصلي ارتش از اين بازيها در جهت آموزش راهكارهاي نظامي، تحت محيطهاي شبيه سازي شده، استفاده كرده اند. از زمان كاربرد بازيهاي نظامي مفهوم جديدي به نام شبيه‌سازي مونت كارلو متداول شده اين مفهوم، روشي كمي است كه آنرا يك رياضي‌دان بزرگ به نام John Von Neumang در طول جنگ جهاني دوم، رايج كرد. وي در آزمايشگاه علمي Los Alamos روي نوترونها كار مي كرد و از اين مدل در جهت حل مسائل پيچيده فيزيك كه از طريق تجربه با دست يا يك مدل فيزيكي ميسر نبودند، استفاده كرد. به خاطر ماهيت تصادفي نوترونها، اين مدل را مدل «مونت كارلو» ناميد، كه در واقع به بررسي و مطالعه قوانين اتفاقي و تصادفي مي‌پرداخت. در دهه 50، همراه با استفاده رايج و متداول تجارت كامپيوتري، شبيه‌سازي به يك وسيله مديريتي تبديل شد.زبانهاي مخصوص كامپيوتري در دهه 60 گسترش يافت تا با تأثير بيشتري بر حجم انبوه مسئله‌ها و مشكلات موجود غلبه پيدا كند.(سيدحسيني، 1384، 26) 2-6-2- مقدمه اي بر شبيه سازي شبيه‌سازي تقليدي از عملكرد فرآيند يا سيستم واقعي با گذشت زمان است. شبيه‌سازي، صرف نظر از اينكه با دست يا بوسيله كامپيوتر انجام شود به ايجاد ساختگي تاريخچة سيستم و بررسي آن به منظور دستيابي به نتيجه گيريهايي در مورد ويژگيهايي عملكرد سيستم واقعي مربوط مي‌شود. همچنانكه يك سيستم با گذشت زمان تكوين مي يابد، رفتار آن با ايجاد مدل شبيه سازي بررسي مي شود. اين مدل معمولاً به شكل مجموعه اي از فرضهاي مربوط به عملكرد سيستم است. اين فرضها در چارچوب رابطه هاي رياضي، منطقي و نمادين بين نهادها يا اهداف مورد نظر سيستم بيان مي‌شود. با ايجاد و معتبرسازي مدل، مي توان آنرا براي تفحص درباره پرسشهاي بسيار گوناگوني از نوع «چه شود اگر» در مورد سيستم واقعي به كار برد. تغييرات انجام پذير در سيستم را مي‌توان ابتدا شبيه‌سازي كرد كه تأثيرشان بر عملكرد پيش بيني شود. شبيه سازي به منظور بررسي سيستم‌هاي در دست طراحي نيز پيش از ايجاد آنها كاربرد پذير است. در برخي موارد مي توان مدلي چنان ساده ايجاد كرد كه به راحتي تمام با روشهاي رياضي حل شود. چنين راه حلهايي را مي توان با استفاده از حساب ديفرانسيل، تئوري احتمال، روشهاي جبري يا ساير روشهاي رياضي بدست آورد. اين راه حلها معمولاً چند پارامتر عددي را در بر مي‌گيرد كه معيارهاي سنجش علمكرد سيستم نام دارند. اما بسياري از سيستمهاي واقعي چنان پيچيده اند كه حل رياضي مدلهايشان در عمل ناممكن است. در اينگونه موارد، به منظور تقليد رفتار سيستم با گذشت زمان، مي‌توان از شبيه سازي عددي كامپيوتري استفاده كرد. با شبيه سازي، چنان داده‌هايي فراهم مي آيد كه گويي سيستم واقعي را مشاهده كرده ايم. از داده هاي بوجود آمده از شبيه سازي، براي برآورد كردن معيارهاي سنجش عملكرد سيستم استفاده مي كنند. در دسترس بودن زبانهاي ويژه شبيه سازي، تواناييهاي محاسباتي گسترده با هزينة رو به كاهش هر محاسبه و پيشرفتهاي در روشهاي شبيه سازي، اين مبحث را به صورت يكي از رايجترين و پذيرفته ترين ابزار تحقيق در عمليات و تحليل سيستمها درآورده است. شرايطي را كه در آن شبيه سازي ابزار كاربرد پذير مناسبي است. شبيه‌سازي را مي توان براي انجام مقاصد زير به كاربرد: با شبيه سازي بررسي و آزمايش رابطه‌هاي متقابل هر سيستم يا زير سيستم پيچيده ميسر است. تغييرات اطلاعاتي، سازماني و محيطي را مي توان شبيه سازي كرد و به مشاهده تأثير اين تغييرات بر رفتار مدل پرداخت. شناخت بدست آمده از طريق طراحي مدل شبيه سازي ممكن است به هنگام پيشنهاد انجام اصلاحات در سيستم در دست بررسي، ارزش فراواني داشته باشد. با ايجاد تغيير در وروديهاي شبيه سازي و بررسي خروجيهاي به دست آمده، مي‌توان شناخت ارزشمندي درباره مهمترين متغيرها و چگونگي رابطه متقابل آنها به دست آورد. شبيه‌سازي را مي توان همچون ابزاري آموزشي به منظور تقويت روشهاي تحليلي پاسخ‌يابي به كار گرفت. از شبيه سازي مي توان به منظور آزمايش طرحها يا خط مشي هاي جديد پيش از اجراي آنها استفاده كرد و آمادگي لازم را براي روبرو شدن با پيشامدهاي ممكن به دست آورد. شبيه سازي را مي توان به منظور تحقيق درباره پاسخهاي تحليلي مورد استفاده قرار داد.(بنكس كارسن، 1384، 3) 2-6-3- مزايا و معايب شبيه سازي هرچند شبيه سازي ابزار مناسبي براي تحليل در موارد بسيار است، تحليلگر سيستم پيش از به كارگيري اين روش در هر مورد خاص، بايد مزايا و عيبهاي آنرا در نظر داشته باشد. مزاياي اساسي شبيه سازي به شرح زير است: پس از ساختن هر مدل مي توان به منظور تحليل طرحها يا خط مشي هاي پيشنهادي، بارها آنرا به كار گرفت. از روشهاي شبيه سازي مي توان در كمك به تحليل هر سيستم پيشنهادي استفاده كرد، هرچند كه داده هاي ورودي تقريبي و ناقص باشد. معمولاً دستيابي به داده هاي شبيه سازي بسيار كم هزينه تراز فراهم آوردن داده‌هاي مربوط به سيستم حقيقي است. به كار بردن روشهاي شبيه سازي معمولاً آسانتر از روشهاي تحليلي است. بنابراين شمار استفاده كنندگان بالقوه روشهاي شبيه سازي بسياربيشتر از روشهاي تحليلي است. در حاليكه معمولاً مدلهاي تحليلي به فرضهاي ساده كننده بسيار نياز دارند تا از لحاظ رياضي كاربردپذير شوند، مدلهاي شبيه سازي چنين محدوديتهايي ندارند. با استفاده از مدلهاي تحليلي، معمولاً تحليلگر مي تواند تنها تعداد محدودي از معيارهاي سنجش عملكرد سيستم را محاسبه كند، در صورتيكه داده هاي توليد شده از مدلهاي شبيه سازي به منظور برآورد هر معيار سنجش متصور عملكرد، كاربرد پذير است. در برخي موارد شبيه سازي تنها وسيله يافتن راه حل مسئله است. اساسي ترين معايب شبيه سازي به شرح زير است: مدلهاي شبيه سازي مربوط به كامپيوترهاي رقمي ممكن است پرهزينه باشند، زيرا ساخت و معتبرسازي آنها به زمان قابل توجهي نياز دارد. معمولاً به اجراهاي فراواني در مورد هر مدل شبيه سازي نيازمنديم و همين مسئله ممكن است به هزينه هاي زيادي براي به كارگيري كامپيوتر بيانجامد. گاهي شبيه سازي را در شرايط به كار مي برند كه روشهاي تحليلي كافي به نظر مي‌رسد. اين وضعيت در مواردي پيش مي‌آيد كه استفاده كنندگان با روش شبيه‌سازي آشنا مي‌شوند و آموخته هاي رياضي خود را به فراموشي مي‌سپارند.(بنكس كارسن، 1384، 5-4) 2-6-4- زمينه كاربرد كاربردهاي بسياري از شبيه‌سازي در زمينه‌هاي متعدد وجود داشته است. هيلي‌ير و ليبرمن مثالهاي زير را براي نمايانيدن توانايي گستره روش شبيه‌سازي برمي‌شمارند: شبيه سازي عمليات در فرودگاههاي بزرگ توسط شركتهاي هواپيمايي به منظور آزمودن تغييرات خط مشي ها و عملكردهاي خود. شبيه سازي عبور و مرور وسايل حمل و نقل از تقاطعي كه چراغهاي راهنمايي دارد با برنامه منظم زماني، به منظور تعيين بهترين توالي هاي زماني. شبيه سازي عمليات نگهداري و تعمير به منظور تعيين شمار بهينه افراد گروههاي تعميري. شبيه سازي جريان شارژ نشده ذرات از سپر تشعشعي به منظور تعيين شدت تشعشعي كه از سپر مي گذرد. شبيه سازي عمليات فولادسازي به منظور ارزيابي تغييرات در طرز انجام عمليات و ظرفيت و تركيب امكانات. شبيه سازي اقتصاد كشور براي پيش بيني تأثير تصميمات مربوط به خط مشي اقتصادي. شبيه سازي جنگهاي نظامي بزرگ مقياس به منظور ارزيابي سيستمهاي تسليحاتي تدافعي و تهاجمي. شبيه سازي سيستمهاي بزرگ مقياس توزيع و كنترل موجودي به منظور اصلاح طراحي اينگونه سيستمها. شبيه سازي تمامي عمليات هر بنگاه تجاري به منظو ارزيابي تغييرات وسيع در خط مشي ها و عمليات آن و همچنين فراهم آوردن امكان شبيه سازي عمليات تجاري براي آموزش مديران. شبيه سازي سيستم ارتباطات تلفني براي تعيين ظرفيت اجزاي مورد نظر كه از لحاظ ارائه رضايت بخش خدمت در اقتصادي ترين سطح ممكن لازم است. شبيه سازي عملكرد حوضه توسعه يافته رودخانه اي براي تعيين بهترين تركيب سدها، كارخانه هاي توليد برق و عمليات آبياري چنانكه بتوان سطح مطلوب مهار سيلابها و توسعه منابع آب را تأمين كرد. شبيه سازي عمليات خط توليد براي تعيين مقدار فضاي لازم جهت انبار كردن مواد در دست توليد.(بنكس كارسن ، 1384 ، 6) 2-6-5- سيستمها و پيرامون سيستم براي مدلسازي سيستم، درك مفهوم سيستم و مرز سيستم لازم است. سيستم‌ را به منزله گروهي از اجزاء تعريف مي كنند كه در راستاي تحقق مقصودي معين در چارچوب رابطه يا وابستگي متقابل منظم به هم پيوسته باشند. مثالي از سيستم عبارت از سيستم توليدي ساخت خودرو است. ماشينها، قطعات و كارگران با هم در امتداد خط مونتاژ كار مي كنند تا وسيله نقليه اي با كيفيت بالا توليد شود. هر سيستم اغلب، تحت تأثير تغييراتي قرار مي‌گيرد كه در خارج از سيستم روي مي دهند. گفته مي‌شود كه چنين تغييراتي در پيرامون سيستم روي مي دهند. در مدلسازي سيستمها لازم است كه مرز بين سيستم و پيرامون آن تعيين شود. چگونگي تعيين اين مرز ممكن است به مقصود از مطالعه سيستم بستگي داشته باشد. مثلاً در مورد سيستم كارخانه، مي‌توان عوامل كنترل كننده ورود سفارشها را خارج از اختيار كارخانه و در نتيجه بخشي از پيرامون آن به حساب آورد. اگر قرار باشد تأثير عرضه بر تقاضا را در نظر بگيريم، بين محصول كارخانه و ورود سفارشها رابطه‌اي وجود خواهد داشت و چنين رابطه‌اي را بايد همچون يكي از فعاليتهاي سيستم مورد توجه قرارداد.(بنكس كارسن ،1384، 7- 6) 2-6-6- اجزاي سيستم به منظور درك و تحليل سيستم چند واژه را بايد تعريف كنيم: نهاد: عنصري مورد توجه در سيستم است. خصيصه: ويژگي نهاد است. فعاليت: نمايشگر دوره زماني با طول مشخص است. اگر درباره بانكي بررسي كنيم، مشتريان را مي توان نهاد دانست، موجودي حسابهاي جاري آنها را خصيصه و سپرده گذاري را فعاليت به حساب آورد. مجموعه نهادهايي كه كل سيستم را در مورد يك بررسي شكل مي دهد ممكن است در بررسي ديگر تنها زير مجموعه اي از كل سيستم باشد. مجموعه متغيرهاي لازم براي تشريح سيستم در هر زمان، با توجه به اهداف بررسي را، حالت سيستم تعريف مي كنيم. در بررسي بانك، متغيرهاي ممكن حالت عبارتند از: تعداد تحويل داران سرگرم كار، تعداد مشتريان منتظر در صف يا در حال خدمت گيري و زمان ورود مشتري بعدي. پيشامد را رويدادي لحظه اي تعريف مي كنيم كه بتواند حالت سيستم را تغيير دهد. واژه درونزا به منظور تشريح فعاليتها و پيشامدهايي كه در درون سيستم رخ مي‌دهند و واژه برونزا به منظور تشريح فعاليتها و پيشامدهاي‌پيراموني كه سيستم را تحت تأثير قرار مي‌دهند به كار مي‌رود. (بنكس كارسن، 1384، 7) 2-6-7- سيستمهاي گسسته و پيوسته سيستمها را مي توان در دو گروه گسسته و پيوسته جا داد. سيستم گسسته سيستمي است كه متغيرهاي حالت در آن تنها در مجموعه اي از نقاط گسسته زمان تغيير كند. بانك، مثالي در مورد سيستم گسسته است زيرا متغير حالت تعداد مشتري حاضر در بانك، تنها وقتي تغيير مي كند كه يك مشتري وارد يا خدمت دهي به يك مشتري كامل شود. سيستم پيوسته سيستمي است كه متغيرهاي حالت در آن به صورت پيوسته طي زمان تغيير كند. يك مثال، مربوط به ترك آب پشت سد است. در جريان بارش هر رگبار و تا مدتي پس از آن، آب در درياچه پشت سد جريان مي يابد. از سوي ديگر، به منظور مهار سيلاب و توليد برق، آب سد تخليه مي شود. (بنكس كارسن، 1384، 8) 2-6-8- مدل سيستم گاهي به بررسي سيستم به اين منظور توجه مي كنيم كه به روابط بين اجزاي آن پي ببريم يا چگونگي عمل آنرا در شرايط به كارگيري يك خط مشي تازه پيش بيني كنيم. گاهي براي بررسي سيستم، تجربه در مورد خود سيستم امكانپذير است، اما اين امكان هميشه فراهم نيست. ممكن است هنوز سيستم جديدي وجود نداشته و آن سيستم به صورت فرضي يا در مرحله طراحي موجود باشد. حتي اگر سيستم موجود باشد، ممكن است انجام تجربه در مورد آن عملي نباشد. مثلاً، دو برابر كردن آهنگ بيكاري به منظور تعيين اثر اشتغال بر تورم ممكن است معقول يا ميسر نباشد. در مورد بانك، كاستن از تعداد خدمت دهندگان باجه به منظور بررسي اثر آن بر طول صف انتظار ممكن است مشتريان را چنان خشمگين سازد كه حسابهاي خود را به بانك رقيب منتقل كنند. بنابراين، بررسي سيستمها اغلب با مدلي از سيستم انجام مي شود. مدل به منزله معرف هر سيستم است كه به منظور بررسي آن تعريف مي شود. در اكثر بررسيها، در نظر گرفتن همه جزئيات سيستم لازم نيست. بدين ترتيب، مدل نه تنها جانشيني براي سيستم است، بلكه ساده سازي سيستم نيز هست. از سوي ديگر، مدل بايد به اندازه كافي دربردارنده جزئيات باشد تا اجازه دهد نتيجه‌هاي معتبر در مورد سيستم حقيقي گرفته شود. به سبب تغيير هدف تحقيق در سيستم، ممكن است به مدلهاي متفاوتي نياز باشد. (بنكس كارسن، 1384، 9) 2-6-9- هنر مدلسازي فرآيندي را كه طبق آن مهندسان و مديران براي سيستمهاي تحت بررسي خود به مدلسازي مي پردازند بايد يك هنر ابتكاري قلمداد كرد. هر مجموعه از قوانين مدلسازي تنها در چارچوب خاصي قابل اعمال است. متأسفانه، تمام تحقيقات علمي با ساختار منطقي پيشامدها گزارش مي شود و سعي در توجيه نتايج بدست آمده دارد. ساختار منطقي مورد اشاره، حتي اگر به نحوه انجام تحقيق بستگي هم داشته باشد، اين بستگي ناچيز است. در واقع، هيچ يك از گزارشهاي علمي، پايه هاي شروع كج و غلط، فرضيه‌هاي اشتباه، ناراحتي ناشي از نتيجه نرسيدن كوششها و ... را منعكس نمي‌كند. صرفاً پس از حصول نتايج است كه مقالات علمي به گزارش اين مطلب مي‌پردازد كه مسئله چيست و تحليلگر چگونه درصدد حل مسئله برآمده است. به اين ترتيب، براي مدلساز بي تجربه خطري بزرگتر از باور داشتن ساختار منطقي گزارشهاي فوق نيست. يك مدلساز با تجربه به اين نكته واقف است كه فرآيند فكري و روحي ساختن يك مدل، از آنچه در گزارشهاي علمي به چشم مي‌خورد بسيار متفاوت است. روش صحيح مدلسازي چنين است كه با مدلي بسيار ساده كار را شروع كنيم و به تدريج به كامل كردن آن بپردازيم. مسائل واقعي بسيار پيچيده تر از آن است كه كاملاًَ آنرا درك و توصيف كنيم. هر مسئله، معمولاً از تعداد بيشماري متغير، پارامتر، محدوديت، جزء و رابطه تشكيل مي شود. به هنگام مدلسازي مي توان سعي در به كارگيري تعداد زيادي از واقعيات كرد و زماني بسيار طولاني را صرف گردآوري داده‌ها و شناخت روابط كرد. به هنگام بررسي هر مسئله بايد اغلب خصوصيات واقعي مربوط به آنرا ناديده گرفت و فقط آن دسته از خصوصيات را كه مستقيماً به هدف بررسي مسئله ربط پيدا مي كند به صورتي انتزاعي در بررسي شركت داد. هر مدل حالت ساده شده و انتزاعي يك مسئله واقعي است، در صورتيكه انتزاعي كردن مسئله به طرز صحيحي صورت گيرد تقريب مفيدي از مسئله واقعي يا دست كم از بخشي از آن عايد مي شود. به منظور ايجاد مدلي مفيد بايد از يك فرآيند دو مرحله اي تجزيه و تركيب استفاده كرد. منظور از تجزيه، ساده كردن سيستم از راه حذف جزئيات يا از طريق پذيرش فرضهايي است كه روابط حاكم بر عوامل را مهارپذير مي كند. در مديريت نيز عمل ساده كردن به منظور ايجاد مدلهاي مفيد كاربرد دارد. مثلاً مدير مي تواند طبيعت متغيرهاي احتمالي را غير احتمالي فرض كند يا تابع توزيع احتمال متغيرهاي تصادفي را كاملاً شناخته شده در نظر بگيرد. عمل ساده كردن مدل معمولاً به يكي از راههاي زير انجام مي شود: تبديل متغيرها به مقادير ثابت حذف متغيرها يا ادغام آنها در يكديگر فرض خطي بودن روابط افزودن محدوديتهاي بيشتر تحديد حدود سيستم عمل ساده كردن مدل را تا جايي مي توان ادامه داد كه مدل از لحاظ رياضي قابل حل شود. از اين مرحله به بعد، عمل كامل كردن مدل شروع مي شود. طبيعت تكاملي مدلسازي امري اجتناب‌ناپذير است. در واقع با حل شدن مسئله در دست بررسي مسائل تازه‌اي پيدا مي شود يا درجه بالاتري از واقعيت مطلوبيت مي يابد. پيدايش مسائل تازه و مطلوبيت يافتن شرايط جديد به اصلاح مدل و تهيه راه حلهاي بهتري مي انجامد. فرآيند ايجاد مدلي ساده و كامل كردن آن، اثرات مثبتي نيز از نظركاربرد دارد. در واقع، سرعت و مسير تكامل به دو عامل اصلي وابسته است: اولين عامل، انعطاف پذيري ذاتي مدل و عامل دوم نيزرابطه بين مدلساز و كاربر است. اگر مدلساز و به كارگيرنده مدل همكاري نزديك داشته باشند، ماحصل كوششهاي آنها، يعني مدل، از كيفيت مناسبي براي تأمين اهداف و معيارهاي مسئله برخوردار خواهد بود. (بنكس كارسن، 1384، 11-10) 2-6-10- انواع مدلها مدلهاي را مي توان در مدلهاي رياضي يا فيزيكي تقسيم بندي كرد. مدل رياضي در معرفي سيستم از نمادها و معادله هاي رياضي استفاده مي كند. مدل شبيه‌سازي، نوعي خاص از مدل رياضي است. علاوه بر اين، مدلهاي شبيه سازي را مي توان در مدلهاي ايستا يا پويا، قطعي يا تصادفي و گسسته يا پيوسته رده بندي كرد. مدل ايستاي شبيه سازي معرف سيستم در لحظه اي خاص از زمان است. مدلهاي پوياي شبيه‌سازي، سيستمها را با توجه به تغييراتشان با گذشت زمان معرفي مي‌كنند.مدلهاي شبيه‌سازي بدون هر گونه متغير تصادفي را در رده مدلهاي قطعي قرار مي‌دهند. مدلهاي قطعي مجموعه مشخصي از وروديها دارند كه به مجموعه يگانه از خروجيها مي انجامد. مدل تصادفي شبيه سازي يك يا چند متغير تصادفي را به منزله ورودي دربردارد. وروديهاي تصادفي به خروجيهاي تصادفي مي انجامد. چون خروجيها تصادفي هستند، تنها مي توان آنها را برآوردهايي از ويژگيهاي واقعي سيستم به شمار آورد. بنابراين در شبيه سازي تصادفي، معيارهاي خروجي را بايد برآوردهاي آماري از ويژگيهاي واقعي سيستم تلقي كرد. (بنكس كارسن، 1384، 12) 2-6-11- شبيه سازي سيستمهاي گسسته- پيشامد شبيه سازي سيستمهاي گسسته پيشامد عبارت است از مدلسازي سيستمهايي كه متغير حالت آن تنها در مجموعه اي از مقاطع گسسته زمان تغيير مي كند. مدلهاي شبيه‌سازي را با روشهاي عددي تجزيه و تحليل مي كنند نه با روشهاي تحليلي. روشهاي عددي در حل مدلهاي رياضي از شيوه هاي محاسباتي استفاده مي كنند. در مورد مدلهاي شبيه سازي كه روشهاي عددي را به كار مي گيرند مدلها اجرا مي شوند و نه حل؛ يعني بر اساس فرضهاي مدل، سابقه اي ساختگي از سيستم ايجاد و به منظور برآورد معيارهاي عملكرد سيستم واقعي، مشاهدات گردآوري و تجزيه و تحليل مي‌شوند. چون مدلهاي شبيه سازي مسائل واقعي نسبتآً بزرگ هستند و مقدار داده هايي كه لازم است ذخيره سازي و پردازش شوند چشمگير است، معمولاً اجراها به كمك كامپيوتر صورت مي‌گيرد، اما از راه شبيه‌سازي دستي مدلهاي كوچك مي‌توان آگاهي قابل توجهي به دست آورد. (بنكس كارسن، 1384، 13) 2-6-12- جاذبه هاي شبيه سازي به عنوان ابزار تجزيه و تحليل مسئله شبيه‌سازي سيستم هاي گسسته پيشامد با كامپيوتر و يا به طور خلاصه شبيه‌سازي كامپيوتري، خصوصياتي دارد كه آن را از ديد تحليلگران به صورت ابزار جالبي در مي آورد. با شبيه سازي كامپيوتري مي توان زمان را فشرده كرد به نحوي كه فعاليتهاي چند سال در ظرف چند دقيقه و گاهي در ظرف چند ثانيه شبيه سازي شود. با استفاده از اين امتياز، تحليلگر مي تواند طرحهاي متنوعي را با صرف زمان ناچيزي در مورد مسئله واقعي به اجرا گذارد و ارزيابيهايي از آنها بدست آورد. شبيه سازي كامپيوتري از عهده بسط دادن زمان نيز برمي‌آيد. در واقع، با تعبيه اين امكان كه در فواصل زماني كوتاه در خلال ساعت شبيه سازي، داده هاي مورد نظر تحليلگر توليد و چاپ شود، شناخت قابل توجهي از ريزه‌ كاريهاي تغييرات ساختاري سيستم به دست مي آيد كه دست يافتن به چنين شناختي بر اساس زمان واقعي ميسر نيست. در مواردي كه شناخت كافي از طبيعت تغييرات دروني سيستم موجود نباشد، ارزش اين مزيت بهتر آشكار مي شود. از جمله ملاحظات اساسي در انجام هر تجربه، امكان تشخيص و مهار كردن منابع تغيير است. اهميت چنين امكاني به خصوص در مواردي آشكار مي شود كه هدف تحليل آماري رابطه بين عوامل مستقل و وابسته باشد. امكان تشخيص و مهار كردن منابع تغيير در دنياي واقعي، اساساً تابعي از سيستم در دست بررسي است. به هنگام استفاده از شبيه سازي كامپيوتري، تحليلگر ناچار است كه به منظور اجراي مدل خود، مشخصاً به تعيين منابع تغيير و ميزان تأثير هر منبع بپردازد. چنين نيازي او را قادر مي كند كه منابع ناخواسته تغييرات را از حيطه بررسي حذف كند. در عين حال، اين امكان تحليلگر را ملزم مي كند تا با بذل توجه كافي به سيستم، شناخت مناسبي در زمينه تشريح كمي منابع تغييرات ورودي كه از حيطه بررسي حذف نشده اند كسب كند. به هنگام ثبت نتايج يك آزمايش واقعي، ارتكاب خطاي اندازه گيري اجتناب ناپذير است. دليل چنين امري اين واقعيت است كه هيچ ابزار سنجش كامل و بدون خطايي براي ثبت نتايج آزمايشهاي فيزيكي وجود ندارد. از طرف ديگر، امكان ارتكاب خطاي اندازه‌گيري در شبيه سازي كامپيوتري وجود ندارد، زيرا مدل شبيه سازي اعدادي توليد مي‌كند كه از تأثير تغييرات ناشي از دخالت عوامل خارجي و غير قابل كنترل مصون است. البته به خاطر محدود بودن طول كلمه يك كامپيوتر، امكان ايجاد بي دقتي ناشي از گرد كردن مقادير عددي وجود دارد ولي با صرف دقت ناچيزي از جانب تحليلگر، مي‌توان اين منبع تغيير را چنان مهار كرد كه به صورت قابل گذشت درآيد. به طور مشخص با استفاده از كلمات با طول مضاعف مي‌توان بي دقتي مورد بحث را مهار كرد. در جريان انجام يك آزمايش، گهگاه لازم مي شود كه آزمايش موقتاً متوقف شود تا نتايج بدست آمده تا لحظه قطع آزمايش بررسي شود. اين نياز ايجاب مي كند كه همه پديده‌هاي درگير در آزمايش، وضعيت فعلي خود را تا لحظه اي كه ادامه آزمايش شروع مي شود حفظ كنند. در آزمايشهاي واقعي به ندرت مي توان همه فعل و انفعالات را كاملاً متوقف كرد. شبيه سازي كامپيوتري از اين امتياز برخوردار است و به منظور استفاده از آن بايد در بخش متوقف كننده برنامه‌ دستورالعملهايي را در نظر گرفت كه وضعيت حاكم بر مدل را به طور كامل ثبت كند. با شروع مجدد برنامه، شرايط لحظه قطع برنامه، شرايط شروع تازه را تشكيل مي دهد و تداوم اجراي برنامه دچار اختلال نمي شود. امتياز ديگر شبيه سازي كامپيوتري، قابليت اجراي مدل به طور مكرر و تحت شرايط شروع يكسان است. در پايان هر اجراي شبيه سازي كامپيوتري، تحليل نتايج ممكن است حاكي از اين مطلب باشد كه اگر داده هاي بيشتري گردآوري مي‌شد پاسخگويي به برخي پرسشها ممكن بود آسانتر باشد. در چنين شرايطي مي توان با افزودن جملات بيشتر به برنامه كامپيوتري، داده هاي مورد نياز را توليد كرد به نحوي كه شرايط شروع اجراي تازه كاملاً مانند شرايط شروع در اجراي پيشين باشد. عملكرد مدل در اين دو اجرا همانند است، با اين تفاوت كه در اجراي دوم داده هاي بيشتري گردآوري و چاپ مي شود. چون اجراي مجدد مدل به مضاعف شدن وقت مورد نياز اجراي كامپيوتري مي انجامد، بايد پيش از اجراي مدل به تعيين داده هاي لازم پرداخت تا در هزينه‌ها صرفه‌جويي شود. با شبيه سازي كامپيوتري به دوباره سازي يك آزمايش نيز توانا مي شويم. منظور از دوباره سازي، اجراي مجدد آزمايش با ايجاد تغييرات مورد نظر در پارامترهاي مربوط به شرايط عملكرد آن است. هرگاه نتوان با استفاده از روشهاي تحليلي راه حلي براي يك مسئله ارائه داده شود شبيه سازي كامپيوتري را مي توان به طور جدي به عنوان ابزار تحقيق مورد بررسي قرار داد. اگر قرار شود از شبيه‌سازي كامپيوتري به منظور تحليل مسئله استفاده شود مي‌بايست به برخي از ويژگي‌هاي مدلسازي مانند ساده كردن مسئله نگاهي دوباره كرد. هر چه جزئيات بيشتري در ايجاد مدل شركت داده شود امكان حصول راه حل دقيق كمتر مي‌شود. معمولاً براي مهار مسئله و طراحي مدل براي آن، اقدام به ساده كردن مدل مي كنند. عمل ساده كردن تا جايي ادامه مي يابد كه بررسي مدل ساده شده هنوز مفيد باشد و ساده كردن بيشتر آن مفيد تشخيص داده نشود. مدلي در اين حد ساده شده را مختصرترين مدل مي نامند. اگر نتوان مختصرترين مدل را از راه تحليلي حل كرد و استفاده از شبيه سازي كامپيوتري براي تجزيه و تحليل آن در نظر گرفته شود، مي توان بيشترين جزئيات را در طراحي مدل مسئله شركت داد. مهمترين امتياز شبيه‌سازي براي طراحان مدل جز اين نيست كه مي‌توان بيشترين عوامل اعم از عمده و جزئي را در مدل شبيه‌سازي دخالت داد تا مدلي واقعي تر طراحي شود و بدان سبب نتايجي توليد شود كه انطباق نزديكتري با واقعيت داشته باشد. (بنكس كارسن، 1384، 17-15) 2-6-13- گامهاي اساسي در بررسي مبتني بر شبيه سازي شکل 2-5 مجموعه گامهايي را نشان مي دهد كه مدلساز را در بررسي مبتني بر شبيه‌سازي به طور كامل و مطمئن هدايت مي‌كند. گامهاي اساسي بررسي مبتني بر شبيه سازي به شرح زير است: 1- صورت بندي مسئله: هر بررسي مبتني بر شبيه سازي را بايد با صورت بندي مسئله شروع كرد. اگر سياستگذاران يا صاحبان مسئله، آنرا به پيش كشند، تحليلگر بايد از درستي درك خود درباره آن اطمينان حاصل كند. اگر تحليلگر مسئله را صورت بندي كند، درك صحيح سياستگذاران از آن و توافق آنها با چگونگي صورت بندي آن مهم شمرده مي شود. 2- تعيين اهداف و طرح كلي پروژه: اهداف شبيه سازي پرسشهايي را مطرح مي كند كه بايد پاسخ آنها را با استفاده از شبيه سازي به دست آورد. در اين مورد بايد تصميم گرفت كه آيا با توجه به صورت بندي مسئله و اهداف معين شده براي آن، شبيه سازي روش مناسبي براي تحليل مسئله شمرده مي‌شود يا خير. با قبول اين فرض كه رأي بر مناسب بودن شبيه سازي است، طرح كلي اجرا بايد دربردارنده سيستمهاي مختلف قابل بررسي و روشي در زمينه ارزيابي كارايي هر يك از آنها باشد. 3- مدلسازي: ساختن مدل سيستم را كاري به يك سان هنري و علمي مي شناسند. هنر مدلساز با استعداد در تجريد خصوصيات اصلي مسئله، انتخاب و اصلاح فرمهاي اساسي مشخص كننده سيستم و سپس غني سازي و كار بر روي مدل تا زمانيكه به نتايج تقريبي مناسبي دست يابد، خلاصه مي‌شود. بنابراين مناسب‌ترين شيوه آغاز كار با مدل ساده و پيچده كردن تدريجي آن است. اما پيچيدگي مدل نبايد از آن حد كه تأمين كننده مقصودهاي ايجاد مدل است بيشتر شود. نقص اين اصل تنها به افزايش هزينه‌هاي مدلسازي و هزينه‌هاي كامپيوتري مي انجامد. ايجاد يك تناظر يك به يك بين مدل و سيستم حقيقي لازم نيست بلكه تنها دست يافتن به چكيده سيستم واقعي مورد نياز است. 4- گردآوري داده ها: بين ساختن مدل و گردآوري داده هاي ورودي مورد نياز، رابطه متقابل مداومي وجود دارد. همچنانكه پيچيدگي مدل تغيير مي كند، عناصر داده اي مورد نياز نيز تغيير مي كنند. به علاوه، چون گردآوري داده ها بخش بزرگي از مجموع مدت مورد نياز براي انجام شبيه سازي را دربرمي‌گيرد، لازم است كه آنرا تا حد ممكن زود و معمولاً همراه با مراحل اول مدلسازي آغاز كرد. 5- برنامه نويسي: چون از اكثر سيستمهاي واقعي مدلهايي نتيجه مي شود كه به مقدار متنابهي ذخيره‌سازي و محاسبات اطلاعاتي نياز دارند، مدل را بايد براي كامپيوتر رقمي برنامه‌نويسي كرد. مدلساز بايد تصميم بگيرد كه آيا مدل را با يكي از زبانهاي عمومي برنامه‌نويسي كند يا از يكي از زبانهاي خاص شبيه‌سازي استفاده نمايد. 6- وارسي برنامه: وارسي مربوط به برنامه كامپيوتري آماده شده براي مدل شبيه‌سازي است. در مورد مدلهاي پيچيده، برنامه نويسي كامل مدل به طريقي موفقيت آميز بدون مقدار قابل توجهي غلط گيري، امري دشوار است. اگر پارامترهاي ورودي و ساختار منطقي مدل به طريقي صحيح در برنامه وارد شده باشد، وارسي كامل شده است. 7- معتبرسازي مدل: معتبرسازي، مشخص كردن اين است كه آيا مدل معرف دقيقي از سيستم واقعي هست يا نه. معتبرسازي معمولاً از طريق محك زدن مدل انجام مي‌گيرد، يعني فرآيند تكرار شونده‌اي كه ناظر به مقايسه‌ مدل با رفتار سيستم واقعي، بهره برداري از موارد افتراق بين آنها و شناخت به دست آمده از اين طريق به منظور وارسي مدل است. اين فرآيند تا جايي تكرار مي شود كه دقت مدل قابل قبول تشخيص داده شود. 8- طرح آزمايشي: گزينه‌هايي را كه قرار است شبيه‌سازي شوند بايد تعيين كرد. اغلب، تصميم مربوط به اينكه كدام گزينه‌ها بايد شبيه سازي شوند ممكن است تابع اجراهايي باشد كه كامل و تجزيه و تحليل شده‌اند. در هر طرح سيستمي كه شبيه سازي مي شود، بايد تصميم هايي در مورد طول دوره راه‌اندازي، طول مدت اجراهاي شبيه سازي و تعداد دوباره سازيهاي هر اجرا اتخاذ كرد. 9- اجراي مدل و تحليل نتايج: اجراهاي مكرر مدل و سپس تحليل آنها به منظور برآورد معيارهاي عملكرد طرحهايي از سيستم كه شبيه سازي مي شوند به كار مي رود. 10- اجراهاي بيشتر: بر اساس اجراهاي كامل شده، تحليلگر تعيين مي كند كه آيا اجراهاي ديگري مورد نياز است يا نه و اگر چنين است، اين اجراها از چه طريقي بايد پيروي كنند. 11- مستندسازي برنامه و گزارش نتايج: به دلايل متعدد، مستندسازي برنامه لازم است. اگر قرار باشد برنامه توسط همان تحليلگر يا تحليلگران ديگر باز هم مورد استفاه واقع شود، درك چگونگي كاركرد برنامه ممكن است لازم باشد. اين امر اطمينان به برنامه را چنان تقويت خواهد كرد كه استفاده كنندگان از مدل و سياستگذاران بتوانند تصميمهايي بر اساس تجزيه و تحليل آن بگيرند. به علاوه اگر قرار باشد برنامه توسط همان تحليلگر يا تحليلگر ديگري وارسي شود، انجام اين خواسته را با مستندسازي كافي مي توان به گونه‌اي قابل توجه آسان كرد. نتيجه هرگونه تحليل بايد به روشني و دقت گزارش شود. با انجام اين اقدام استفاده كنندگان از مدل مي توانند صورت بندي نهايي مسئله، گزينه هاي سيستم موردنظر، ملاك مقايسه گزينه ها، نتايج آزمايشها و راه حل پيشنهادي مسئله را بررسي كنند. 12- اجرا: موفقيت اين مرحله به اين موضوع بستگي دارد كه يازده گام پيش از آن چقدر خوب انجام شده باشند. موفقيت گام اجرا همچنين به ميزان شركت دادن استفاده كننده نهايي مدل در تمام فرايند شبيه سازي، از سوي تحليلگر بستگي دارد. اگر استفاده كننده از مدل بطور كامل در فرايند مدلسازي شركت داده شده باشد و اگر ماهيت مدل و خروجيهاي آنرا درك كند، احتمال اجراي قوي مدل افزايش مي يابد. (بنكس كارسن، 1384، 23-19) صورتبندي مسألهتعيين اهدافوطرح كلي پروژهمدلسازيگردآوري داده هابرنامه نويسيصحيح؟معتبر؟طرح آزمايشياجراهاي توليدي و تحليل نتايجاجراهاي بيشتربرنامة مستندسازي و گزارش نتايجاجرا123456نه7نهنهبلهبله8910بلهبلهنه1112شکل 2-5 گامهاي اساسي در بررسي مبتني بر شبيه سازي 2-6-14- نقل قولهاي مشهور شبيه سازي در اين بخش چند نقل قول معروف در شبيه سازي را بيان مي كنيم. 1- نمي توان سيستم را با متوقف نمودن آن بررسي نمود. اولين جمله به يك سريال علمي- تخيلي با كارگرداني فرانك هربرت مربوط مي‌شود. اين عبارت زماني مطرح شد كه دانشمندان به دنبال تحليل يك مسئله ويژه بودند. براي بررسي مشكل، سيستم مي‌بايست براي مدتي به طور كامل متوقف می گردید، اما اين توقف باعث تغيير طبيعت سيستم مي شد. بنابراين تنها راه مناسب بررسي آن زماني بود كه سيستم در حركت باشد. شبيه سازي كامپيوتري اجازه مي دهد كه مدل سيستم در حركت باشد. اين عبارت به توانايي شبيه سازي كامپيوتري در تحليل سيستمها در حين عمليات تمركز دارد. 2- دوباره اجرا كنيد. اين عبارت برگرفته شده از يكي از قسمتهاي سريال «كوچ ستاره» مي باشد. در اين قسمت تأسيسات فضا پيما خراب مي شود. مهندس فضاپيما برنامه اي براي تعمير تأسيسات طراحي مي‌كند. مشكل طرح در اين بود كه اگر با موفقيت به انجام نمي‌رسيد كليه منابع تأمين كننده انرژي تأسيسات از بين مي رفتند و احتمال نابودي كل تأسيسات وجود داشت. مسئول تأسيسات به مهندس آموخت كه از طرح پيشنهادي اش يك مدل شبيه‌سازي تهيه نمايد. اجراي مدل شبيه سازي به مهندس نشان داد كه اين طرح با موفقيت اجرا خواهد شد. چون مسئول تأسيسات با شبيه سازي آشنايي داشت از مهندس خواست دوباره اجرا كند. نتيجه شبيه سازي دوم برخلاف اجراي اول بود و نشان داد اين طرح براي تأسيسات مفيد نيست. اين نتايج متناقض مهندس را متقاعد كرد كه به دنبال طرح جايگزين مناسب بگردد. اين مثال بر اين نكته تأكيد دارد كه سيستمهاي احتمالي را با يك دفعه شبيه سازي نمي‌توان بررسي كرد. 3- آيا اين كاري كه انجام مي دهيد نوعي بازي است؟ جملة آخر به يكي از مجريان پروژه‌اي كه شامل مدل سازي و تحليل يك ساختمان با چندين سالن سينما بود گفته شد. از اين سياست يك انيميشن ساخته شد. در اين انيميشن مشتريان را در حال خريد بليط، جمع آوري بليطها، رفتن به سالن انتظار و نهايتاً ورود به سالن انتظار نشان مي داد. در زمان نمايش انيميشن يك نفر پرسيد كه آيا اين مدل كامپيوتري يك نوع بازي است؟ مجري طرح پس از پشت سرگذاردن شوك جواب داد اين يك مدل پيچيده رياضي است برپايه توزيع هاي احتمالي و آماري. اما پاسخ او فرد سوال كننده را قانع نكرد و مسئول پروژه را براي كامل كردن آن انيميشن تنها گذاشت. اين مسئله خطر ناتواني افراد ناآگاه از درك و فهم پيچيدگي مدل شبيه سازي را نشان مي‌دهد. بسياري از اين افراد كساني هستند كه بايد آنها را متقاعد ساخت كه اين مدل براي گرفتن تصميمهاي مهم بسيار سودمند است. نه تنها مدل بايد از نظر منطق رياضي درست باشد بلكه بايد افراد ناآگاه را نيز متقاعد سازد.( Chung,2004,7) منابع فارسی: آذر ، عادل ، آمار و كاربرد آن در مديريت ، 1382 ، چاپ نهم ، تهران ، سازمان چاپ و انتشارات وزارت فرهنگ و ارشاد اسلامي آريا نژاد ، مير بهادر قلي ، برنامه‌ريزيي سيستمهاي توليد ،1382 ، چاپ اول ، تهران ، انتشارات ترمه . اصغر پور ، محمد جواد ، تصميم‌گيريهاي چند معياره ، 1385، چاپ چهارم ، تهران ، انتشارات دانشگاه تهران . اصغر پور ، محمدجواد ، تصميم گيري گروهي و نظريه بازيها با نگرش تحقيق در عمليات ، 1382، چاپ اول، انتشارات دانشگاه تهران . ايرواني ، سيد محمد رضا ، سيستمهاي صف ، 1372 ، چاپ اول ، تهران ، انتشارات دانشگاه علم و صنعت تهران . بنكس كارسن ، شبيه سازيهاي سيستمهاي گسسته - پيشامد ، ترجمه‌ هاشم محلوجي ، چاپ چهارم ، انتشارات علمي دانشگاه صنعتي شريف . جاويد ، ناصر ، ارزيابي كارو زمان ، 1379، چاپ اول، تهران ، انتشارات روزنه . سيد حسيني ، سيد محمد ، مديريت كارخانه ، 1383 ، چاپ هفتم ، تهران ، سازمان چاپ و انتشارات وزارت فرهنگ و ارشاد اسلامي . سيد حسيني ، محمد، اسدي نيا ، مديريت توليد و خدمات براي مديران اجرايي ، 1384، دانشگاه آزاد اسلامي – واحد علوم و تحقيقات . شاهكار ، غلامحسين، مباني نظريه صف ، 1372، چاپ اول ، تهران ، مركز نشر دانشگاهي . كريمي دردشتي ، كاوه ( 1383) ، مدلسازي وشبيه سازي فرآيند توليد كارخانه روغن نباتي گلناز كرمان ، استاد راهنما دكتر محمود البرزي ، پايان نامه كارشناسي ارشد دانشكده مديريت واحد تهران مركزي دانشگاه آزاد اسلامي . ماكويي ، احمد ، مقدمه‌اي بر برنامه‌ريزي توليد ، 1379، چاپ اول ،تهران ، انتشارات روزنه . مدرس يزدي ، سيد محمد تقي ، تئوري صف ، 1372 ، چاپ اول ، تهران ، انتشارات دانشگاه تهران . منابع لاتین: Aksoy, Hafzullah, Use of Gamma Distribution in Hydrological Analysis, TURKEY, Istanbul Technical University, 1999. B.COOPER, ROBERT, QUEUEING THEORY, ENCYCLOPEDIA OF COMPUTER SCIENCE, Fourth Edition, 2000. Bobbio, Andrea, Birth Death processes and Queuing Systems, Anro Accademico, 2000. Bolch & Eta1, Queuing Networks and Markof Chains, Canada, John Willey & Sons, 2006. Borson & Eta1, the WIYN Queue: Theory Meets Reality, National Optical Astronomy, 1996. Ching, Wai- ki, Markof Chains: Models, Algorithms and Applications, Hong Kong, Springer Science, 2006. Chung, Christopher, Simulation Modeling Handbook, 2 USA, CRC Press LLC, 2004. Church, Newman, Using simulation in the optimization of food service delivery, Emerald, 2000. Elfattah, Abd, Goodness of fit Tests for Logistic Distribution using the Stabilized probability plot, 2007, Journal of Applied Science Research, 3. GOMEZ, Fernandez, Garcia, Using Genetic Algorithms to resolve layout problems in facilities where there are aisles, ELEVIER, 20003. Limor Aharonson, Paul, Management of Queue in out – patient departments, The use of computer Simulation, Journal of Management in Medicine, 6. 1996. Nolan, Dennis, Reliability Engineering handbook, USA, 1999. Otamendi, Pastor, Estimation of Maximum Queue Lengths Using Simulation- Based Regression, I.J of Simulation, 9, 2006. Shin, Yang Woo, An Algorithmic Solution for the Stationary Distribution of M/M/C/K Retrial Queue, China, Changwon National University, 2006. Van Drop , Rene , A novel extension of the triangular distribution and its parameter estimation, USA, Royal Statistical Society, 2002. Willig, Andreas, A short introduction to Queuing Theory, Germany, Technical University Berlin, 1999. Zaindin, Mezen, parameters Estimation of the Modified Webull Distribution, Mathematical Science 11, 2009.02.03